第5讲 导数中的恒成立问题（提高版）讲义——2024届高三数学一轮复习

第5讲 导数中的恒成立问题（提高版） 一、【知识整合】 1.恒成立问题是高中数学的重要题型，在高考中常常与函数、导数、不等式结合以压轴题的身份出现，是整个高中教学的重点，也是难点，恒成立问题主要分为“含参恒成立”和“不含参恒成立”两类，后者相对容易处理，例如： 恒成立 从而转化为最值问题的求解（其他类型同理）； 而“含参恒成立”问题，例如： 恒成立（为常数，为参数） 也可等价转化为但参数的“掺和”往往使函数的最值变得不确定，不可避免地要经分类讨论，进一步使整个解题过程显得繁琐。 其实，“含参恒成立”问题也可用“参变量分离”等方法处理，将等价变形为，则等价于，再解关于的不等式即可。 2.主要分三种类型： （1）可分离变量，且分离后两侧同构：可构造新函数，利用新函数单调性处理； （2）可分离变量，但分离后两侧不同构：构造两个新函数，利用恒成立、能成立技巧处理。 （3）不可分离变量：进行齐次化构造，通过换元后构造新元的新函数后处理。 3.常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 第三种：构造函数求最值 题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型。 二、【例题讲解】 1.已知函数． （1）若函数在区间（0，1）上是单调函数，求实数的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2.已知函数，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线. （1）求，，，的值；（2）若时，，求的取值范围. 3.已知，若，求的取值范围。 4.已知函数； （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在区间内任取两个不等的实数，不等式恒成立，求的取值范围。 5.已知函数 （1）若函数为减函数，求的取值范围； （2）若恒成立，证明： 6.已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值； （3）若恒成立，求的最大值 7.已知函数，（为自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 三、【课堂练习】 1.已知，其中是自然常数， （1）讨论时，的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，； （3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值； 若不存在，说明理由。 2.已知函数是上的奇函数，当时取得极值． （1）求的单调区间和极大值； （2）证明对任意不等式恒成立． 四、【课后巩固】 1．已知函数，若对于区间[－3,2]上任意的都有，则实数t的最小值是（ ） A．0 B．10 C．18 D．20 2.设函数x. (1)求的单调区间； (2)若当∈[－2,2]时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数在区间(t,3)上不是单调函数，求的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$