第4讲 导数中的恒成立问题（基础版）讲义——2024届高三数学一轮复习

第4讲 导数中的恒成立问题（基础版） 一、【知识整合】 1.关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： （1）分离变量；（2）变更主元；（3）根分布；（4）判别式法 （5）二次函数区间最值求法：①对称轴（重视单调区间）与定义域的关系，②端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，我们会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 2.基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立： （1）此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题. （2）恒成立问题的转化：恒成立； （3）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方； （4）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方； 二、【例题讲解】 1.若函数在是增函数，则的取值范围是 ． 2.已知函数，若时，，求的最小值； 3.已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 4.设函数．（1）证明：当时，；（2）设当时，，求的取值范. 5.设.（e是自然对数的底数），若对一切恒成立，求的取值范围； 6.已知函数； （1）若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间； （2）若，且对时，恒成立，求实数的取值范围。 7.已知，； （1）当时，求的最大值； （2）求证：对任意恒成立. 8.已知函数在与时都取得极值 （1）求的值与函数的单调区间； （2）若对，不等式恒成立，求的取值范围. 三、【课堂练习】 1.已知函数. （1）若在处取得极小值，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； 2.已知函数，函数. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； 四、【课后巩固】 1.已知函数（为常数）的图象与y轴交于点A,曲线在点A处的切线斜率为. （1）求的值及函数的极值; （2）证明:当时,. 2.已知函数． （1）求函数的单调区间；[来源:学|科|网Z|X|X|K] （2）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 3.已知函数在点的切线方程为. （1）求函数的解析式; （2）设,求证:在上恒成立. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$