河南省南阳市2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023年秋期高中二年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图像为抛物线，其准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三条直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为.若，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm   A. 30 B. 10 C. 20 D. 5. 直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数、满足，则的最小值是（ ） A B. C. D. 8. 如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线的蒙日圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 已知直线和直线，下列说法不正确的是（ ） A. 当或时， B. 当时， C. 直线过定点，直线过定点 D. 当，平行时，两直线的距离为 10. 已知方程表示曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当或时，曲线双曲线 C. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 11. 是椭圆上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若存在点，使，则椭圆的离心率 D. 若的中点在轴上，则 12. 已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切 B. 若，则直线的斜率 C. 弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为 D. 若，则的最小值为18 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 请写出一个焦点在轴上，焦距为的椭圆的标准方程______． 14. 、分别是圆与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为______． 15. 已知双曲线焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设、分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则双曲线的离心率为______；的最小值为______． 16. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______. 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 在平行四边形中，，，，点是线段的中点． （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线垂直的直线方程． 18. 已知焦点在轴上的双曲线的离心率为，焦点到其中一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的上焦点的直线交双曲线的上支于、两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．