精品解析：江苏省常熟市2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023~2024学年第一学期期中试卷 高二数学 2023.11 注意事项 答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卷交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置． 3．请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 36 B. 45 C. 54 D. 63 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 数列中，，，则（ ） A. 77 B. 78 C. 79 D. 80 4. 直线，，若两条直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 5. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，（，），为其前项和，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线，，，则 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 数列中，“（，）”是“是公比为2等比数列”的必要不充分条件 B. 数列的通项为，若为单调递增数列，则 C. 等比数列中，，是方程的两根，则 D. 等差数列，的前项和分别为，，若，则 11. 已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. 最短时，弦长为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 直线过定点 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 过点，，圆心在直线上圆的标准方程为______ 14. 点关于直线的对称点的坐标为__________． 15. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为__________． 16. 设数列的前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为． （1）求点的坐标； （2）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值． 18. 已知等差数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 19. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点． （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 20. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数最大值． 21. 已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于3的正整数，，使得． （1）若，，求的值； （2）求证：数列是等