第3讲 利用导数研究函数的极值与最值 讲义-2024届高三数学一轮复习

第3讲 利用导数研究函数的极值和最值 一、【知识整合】 1．函数的单调性 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. ⇔在上为增函数． ⇔在上为减函数． 2．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． (2)函数的极大值： 函数在点的函数值比它在点附近的其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值 (1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值． (2)若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值． 4.求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程的根； (3)用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由根的两侧导数的符号来判断在这个根处取极值的情况． 5.求函数在上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值，； (3)将函数的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 二、【例题讲解】 1.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是( ) 2.已知函数（且），求函数的极大值与极小值. 3.已知函数； (1)若曲线在点(1，f(1))处的切线平行于轴，求的值； (2)求函数的极值． 4.已知函数的导函数的两个零点为－3和0. （1）求的单调区间； （2）若的极小值为－e3，求在区间上的最大值. 5.已知，其中为自然对数的底数.若函数存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为，求的值. 6.（1）已知在时有极值0，则＝ . （2）若函数在区间(，3)上有极值点，则实数的取值范围是( ) A．(2，) B．[2，) C．(2，) D．[2，) 7.已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间(0，e]上的最小值． 8.已知函数； (1)求在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值． 三、【课堂练习】 1.设函数在上可导,其导函数为,且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A.函数有极大值和极小值 B.函数有极大值和极小值 C.函数有极大值和极小值 D.函数有极大值和极小值 2.已知函数(其中为常数且)在处取得极值.若在上的最大值为，求的值. 3.已知函数，其中为实数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）求函数的单调区间. 4.已知函数 （其中常数∈R），是奇函数. （1）求的表达式；（2）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值. 四、【课后巩固】 1.已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.已知函数（），.当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值. 3.已知函数 (其中， ). (1)若函数在上为增函数，求实数的取值范围； (2)当时，求函数在上的最大值和最小值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$