2023年九年级数学中考专题复习《二次函数与面积问题综合压轴题》专题提升训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与面积问题综合压轴题》 专题提升训练（附答案） 典例引领： 例．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为D，求三角形的面积； (3)在直线上是否存在点P，使的面积是面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 答案：(1) (2) (3)P的坐标为：或. 分析：（1）先根据直线求出B、C两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值． （2）如图，过D作轴交于，求解顶点，，结合，，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）如图，当P在C的右边时，由，可得，再利用中点坐标公式可得答案，当P在C的左边时，如图，过作轴于H，可得，则，结合，可得，则，从而可得答案． 解：（1）解：∵， 当，则，当，则， 直线与坐标轴的两个交点坐标分别是，， ∵抛物线经过B、C两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式． （2）如图，过D作轴交于，    ∵， ∴顶点， 当时，， ∴，而，， ∴； （3）存在，理由如下： 如图，当P在C的左边时， ∵， ∴，    设， ∴，解得， ∴； 当P在C的右边时，如图，过作轴于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 此时的横坐标为1，则纵坐标， ∴, 综上：P的坐标为：或. 点睛：本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，相似三角形的判定与性质，掌握以上基础知识是解本题的关键. 跟踪训练： 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线AB的解析式； （2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在线段EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，求出点M的坐标；若不存在 （3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求出点P的坐标 2．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（﹣3，0）两点，交y轴于点C（0，3），过点M作x轴的垂线，交直线BC于点F （1）求抛物线的解析式； （2）当△BCE面积最大时，求M点的坐标； （3）如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，当点P到达点A时，点Q停止运动△CPQ的最大值及此时点P的坐标； （3）点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在；若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，3）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的表达式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，PD交AB于点D．记△CPB1，S2，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值，请说明理由． 5．综合与探究 已知：p，q是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且p＜q，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（p，0），B（0，q）． （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，D的坐标和△BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，请直接写出P点的坐标　 　； （4）若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2． （1）求a，b的值； （2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E． （i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和； （ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D？若存在，请求出点B的横坐标t的值，请说明理由． 7．综合与探究 如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标； （2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D ①当