2023 年九年级数学中考复习 二次函数与相似三角形综合压轴题 专题提升训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》 专题提升训练（附答案） 典例引领： 例．如图，抛物线交轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，其中．    (1)求抛物线的解析式 (2)点为线段上方抛物线上一动点，过点作于点，设点的横坐标为． ①设的长度为，请用含的式子表示，并求出取得最大值时，点的坐标； ②过点作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 答案：(1) (2)①；②存在，的坐标是或 分析：（1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①过点作轴交于点，设，则：，利用，得到，利用二次函数的性质求最值即可； ②设交轴于，则轴，分和，两种情况进行讨论求解即可． 解：（1）解：，，且点在点的左边， ． 经过，． ．解得． 抛物线的解析式为． （2）①如图，过点作轴交于点．    点的横坐标为， 点的坐标为． 抛物线与轴交于点， ． 直线的解析式为． 轴， ． ，， ． ． ． 在中，， ． 点在线段上方的拋物线上， ． ． ， 当时，取得最大值． ． ． ②存在．如图，设交轴于，则轴．    ， ． ． 当与相似时，分两种情况说明． 1）当时， ． 过作轴，垂足为． 设的坐标为，则坐标为． ，，． ． ，解得． ． 的坐标是． 2）当时， ． ． ，解得． ． 的坐标是． 综上，的坐标是或． 点睛：本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．同时考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，属于中考常见压轴题． 跟踪训练： 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点2+bx+c过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C （1）求抛物线的解析式． （2）求△ABE面积的最大值． （3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在；若不存在，说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上x2+bx+c经过A，C两点，连接AC． （1）请直接写出b，c的值； （2）若动点E（m，0）在边OA （不与O，A两点重合）上时，交AC于点M，交抛物线于点P ①设线段PM的长为h，求h与m的函数关系式； ②当点P在BC下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与△AEM是否相似？若相似；若不相似，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标； （2）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点，求点M坐标；若不存在 4．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t， ①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值，请说明理由． ②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，点P的坐标； 5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（4，0），B（0，2）两点，抛物线与x轴负半轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）D在第二象限抛物线上，作DE∥x轴交AB于点E，作DG⊥x轴，垂足分别是G，F，当四边形DEFG为正方形时； （3）P为第一象限抛物线上的点，Q为直线AB上的点，当△BPQ与△ABC相似时 6．如图，抛物线与x轴相交于点A，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交该抛物线于点 E． （1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标； （2）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标； （3）当∠BED＝2∠OAB时，求△BDE与△CDA的面积之比． 7．如图，已知一次函数y1＝kx+m的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点，且与x轴交于点C2＝ax2+bx+4的图象经过点A，C，连接OA． （1）求一次函数和二次函数的解析式． （2）求∠OAB的正弦值． （3）在点C右侧的x轴上是否存在一点D，使得△BCD与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，y轴于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点． （1）写出点A、点B的坐标； （2）求此抛物线对应的函数表达式； （3）如图2，过