2023 年九年级数学中考复习 二次函数与角度问题综合压轴题 专题提升训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与角度问题综合压轴题》 专题提升训练（附答案） 典例引领： 例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限抛物线上一动点，连接，的延长线与轴交于点，过点作轴于点，以为轴，翻折直线，与抛物线相交于另一点．设点横坐标为，点横坐标为，求出与的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，连接，点在上，且，连接，若，求点坐标． 答案：(1) (2) (3) 分析：（1）利用待定系数法即可求得结论． （2）由已知条件得出点的坐标，则，的长度可得，利用点的坐标可得线段的长度；根据对称性可得的长度；设交轴于点，过点作轴于点，通过证明，得出比例式，将线段的长度代入化简即可得出结论． （3）根据等腰三角形的性质，可得，利用三角形的外角的性质可得，通过证明，得到比例式，将线段的长度代入即可得到，利用（2）中结论，将代入上式即可求得值，进而点的坐标可得，可求出直线的解析式，进而可求得答案． 解：（1）∵抛物线经过，两点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）∵点是第一象限抛物线上一动点，点横坐标为， ∴点的坐标为． ∵轴， ∴点的坐标为． ∴． ∵点的坐标为， ∴． ∴． 如图所示，设交轴于点，过点作轴于点．    根据题意得：． ∴． ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴与的函数关系式为：． （3）∵， ∴． ∵，， ∴． 如图所示，设与交于点．    ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，即． 由（2）知：， ∴． ∴． ∴或． ∵点是第一象限抛物线上一动点， ∴． ∴． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为． 因为直线的解析式的图象经过点，点，所以 解得 ∴直线的解析式为． 将代入，得 ． 解得：． ∴点的坐标为． 点睛：本题主要考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，一次函数的图象和性质，轴对称图形的性质等，解题的关键在于牢记一次函数和二次函数的图象和性质． 跟踪训练： 1．如图，已知二次函数y＝ax2﹣5ax+2的图象交x轴于点A（1，0）和点B，交y轴于点C． （1）求该二次函数的解析式； （2）过点A作y轴的平行线，点D在这条直线上且纵坐标为3，求∠CBD的正切值； （3）在（2）的条件下，点E在直线x＝1上，求点E的坐标． 2．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，直线AD与直线BC交于点E． （1）求b、c的值和直线BC的表达式； （2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标； （3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比． 3．如图，直线与x轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，P为x轴上的动点，O不重合，PC∥OB交抛物线于C，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）当∠BCD＝45°时，求点P的坐标； （3）当△BCD为等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 4．如图，二次函数y＝ax2﹣x+c经过点A，与直线y＝ （1）求此二次函数的解析式； （2）点P是直线下方二次函数图象上一点，连接PB，PC，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一点，CQ＝CP，若∠BPC＝∠QCB+∠QBC 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC ①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时； ②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，请直接写出点H的坐标． 6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴分别交于点C（﹣1，0），点C（0，2），且∠ACB＝90° （1）求抛物线的解析式． （2）点P是线段AB一动点，过P作PD∥AC交BC于D，当△PCD面积最大时 （3）点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当∠ABC恰好等于△BCM中的某个角时，求点M的坐标． 7．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）如图2，连接BD，F为x轴上一点，当BE＝CE时，求点F的坐标； （3）如图3，连接AC、BC，在（1）中的抛物线上是否存在点G，直接写出点G