2023 年九年级数学中考复习 二次函数与直角三角形综合压轴题 专题提升训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与直角三角形综合压轴题》 专题提升训练（附答案） 典例引领： 例．如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点，过点作轴于，交于点，当点的横坐标运动到什么位置时，线段最长？此时等于多少？ (3)在该抛物线上是否存在一点，使得三角形是直角三角形？若存在，求出所有满足条件点的坐标；若不存在，请说明理由．只考虑以为直角边的情形 答案：(1)； (2)当横坐标为时，有最大值； (3)或． 分析：（）利用待定系数法，将，的坐标代入即可求得二次函数的解析式； （）求出的解析式，设，则，利用长即可求解； （）进行分类讨论，当和时即可求解． 解：（1）由题意把点、 代入得:解得：， ∴此抛物线解析式为：， （2）如图， 由，当时， ∴点， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值； （3）存在，设， ∵，， ∴， 如图，当，过作轴于点， ∴，，， ∵， ∴， ∵，即，解得：(舍去)，， ∴点， 如图，当，过作轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴，解得：(舍去)，， ∴点， 综上可知：或． 点睛：此题考查了待定系数法求解析式，利用二次函数的性质求极值，等腰直角三角形的性质等，解题的关键是利用分类讨论的思想，通过作出合适的辅助线构构特殊三角形解答． 跟踪训练： 1．如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，说明理由． （3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，连接AI、OI，请直接写出∠AIO的度数和CI长度的最小值． 2．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点坐标为（﹣1，），交y轴于点A（0，3），交直线l：x＝﹣2于点B（0，2）在y轴上，连接BC并延长 （1）求抛物线解析式； （2）如图①，E为直线l上位于点B下方一动点，连DE、BD、AD△BDE＝4S△ABD，求E点坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，若△APQ为直角三角形，请求出P点坐标． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），点D为线段BC上一点，连结BE． （1）求抛物线的解析式； （2）当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度； （3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°，若存在；若不存在，请说明理由． 4．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，ON． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积； （3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题： ①求证：∠PNM＝∠ONM； ②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 5．如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象经过点（1，8），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（﹣1，0），M为抛物线的顶点． （1）求二次函数的解析式； （2）求△MCB的面积； （3）在坐标轴上是否存在点N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中有Rt△AOB，O为原点，OB＝1，将此三角形绕点O顺时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A，B，C三点． （1）求此抛物线的解析式及顶点P的坐标； （2）直线l：y＝kx﹣k+3与抛物线交于M，N两点，若S△PMN＝2，求k的值； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q使得△DCQ为直角三角形，若存在请求出Q点的坐标，若不存在 7．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（4，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P为直线AC下方抛物线上一动点，连接PA，PC； （3）如图2直线l为该抛物线的对称轴，在直线l上是否存在一点M使△BCM为直角三角形，若存在，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OB＝2，对称轴为直线x＝﹣2（提示：点（x1，y1）与（x2，y2）之间的距离为） （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第三象限内抛物线上的动点，连接AD和CD，求△ACD面积的最大值； （3）点E在抛物线的对称轴上，若△ACE为直角三角形，请直接写出点E的纵坐标． 9．如图，已知直线与y轴交于点A，抛物线与直线交于A