2023年九年级中考数学复习 二次函数与正方形综合压轴题 专题提升训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与正方形综合压轴题》 专题提升训练（附答案） 典例引领： 例．如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点B．    (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)将抛物线的图象向右平移8个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点P的横坐标为m．过点P作于点D，求m为何值时，有最大值，最大值是多少？ 答案：(1)， (2)存在，，， (3)当时，的最大值为 分析：（1）利用待定系数法求解函数解析式即可． （2）分①为正方形的边长，②为正方形的对角线两种情况讨论，作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理即可求解． （3）求出的解析式，证明时等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求出H的坐标，进而求出和，即可求解． 解：（1）解：∵抛物线的图象经过，，三点， ∴ 解得， ∴， 把代入一次函数中， 得， ． 抛物线的解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：①当为正方形的边长时， 分别过B点，C点作，，使，连接，过点作轴于， ， ， ， 同理可得，． ②以为正方形的对角线时， 如图，过的中点G作，使与互相平分且相等， 则四边形为正方形，过点作轴于点N，过点B作于点M， ， ， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或4， 当时，，此时点E在点F右侧，舍去； 当时，，    综上，，，； （3）∵抛物线向右平移8个单位长度得到抛物线， ， 过M，N，C三点， ∴， 如图，在直线下方的抛物线上任取一点P，作轴交于点H，过H作轴于G，    ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， ∵点P在抛物线y2上，且横坐标为m， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 答：当时，的最大值为． 点睛：本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理解决问题． 跟踪训练： 1．如图，直线y＝kx与抛物线y＝x2+c交于A，B两点，其中点B的坐标是（2，2）． （1）求直线AB及抛物线的解析式； （2）C为直线AB下方的抛物线上一点，过点C作CD⊥AB，垂足为D； （3）P在抛物线上，Q在直线AB上，M在坐标平面内，P，Q，M为顶点的四边形为正方形时，直接写出点M的坐标． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，2），点D是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点D在直线BC上方时，作DF⊥x轴于点F，当∠D＝∠BCO时，求点D的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形BPDQ为正方形时 ​ 3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点G（1，0），与y轴交于点E（0，2），顶点为F． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PE＝PF时，求P点坐标； （3）如图2，在图1的基础上，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，4），B（2，4），C（2，3），D（1，3），M（0，b），直线MN垂直于y轴，以MN为对称轴，若新图形与正方形ABCD有两个交点，请直接写出b的取值范围．​ 4．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标； （3）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，请直接写出点G的坐标． 5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．点P是抛物线上的动点，交直线BC于点Q，以PQ为边 （1）求此抛物线的解析式． （2）点P在直线BC上方的抛物线上运动时，直接写出PQ的长．（用含m的代数式表示） （3）抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）时，求m的值． （4）当此抛物线在正方形PQMN内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出m的值． 6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（0，﹣2）．点B在y轴上，其纵坐标为m，以点A为对称中心，以BC长为边长作正方形PQMN （1）求该抛物线对应的函数关系