2023年九年级中考数学复习 二次函数与菱形综合压轴题 专题提升训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与菱形综合压轴题》专题提升训练（附答案） 典例引领： 例．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点E是平面直角坐标系内任意一点，原抛物线的对称轴上是否存在点D，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：(1) (2)或或 分析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，平移后的抛物线为，可得点C的坐标为，设点D坐标为，分为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可． 解：（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为：； （2）抛物线的表达式为：， 则平移后的抛物线表达式为：， 联立上述两式并解得：， 故点． 设点、点，而点B、C的坐标分别为、； 当为菱形的边时，    点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D）， 即且①或且②， 当点D在E的下方时，则，即③， 当点D在E的上方时，则，即④， 联立①③并解得：，或（舍去）， ∴， 故点； 联立②④并解得：，， ∴或， 故点或； 综上，点D的坐标为：或或． 点睛：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 跟踪训练： 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）． （1）求抛物线的表达式； （2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，当四边形OBPC的面积S最大时； （3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，直接写出所有符合条件的点N坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧 （1）求A、B、C三点的坐标． （2）过点P作x轴的垂线，交BC于点E，过点E作y轴的垂线，求PE+2EF的最大值以及此时P点的坐标． （3）将抛物线沿CB方向平移个单位，点H是新抛物线的顶点，点M是平面内一点，若以A、Q、H、M为顶点的四边形是菱形 3．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，D为第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作直线DM∥AC，交x轴于点E． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式． （2）在点D运动的过程中，求线段DM的最大值及此时点D的坐标． （3）在（2）的条件下，设Q是坐标平面内一动点，是否存在这样的点Q和点N，使以D，N，B，请直接写出点Q的坐标；若不存在 ​ 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（，0），直线y＝x+与抛物线交于C、D两点，垂足为G，PQ∥y轴 （1）求抛物线的解析式； （2）当PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和； （3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点（2）中PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M 5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接BC（不与点C，B重合），过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式和对称轴； （2）设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值； （3）已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 6．综合与探究： 如图，已知抛物线与x轴交于A（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC交于点F （1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC； （2）当△CDB是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值； （3）直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），且D（1，8）． （1）求抛物线的解析式； （2）若在线段BC上存在一点M，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于H，且MO＝HO； （3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标，请说明理由．