2023年九年级中考数学复习《二次函数与矩形综合压轴题》专题提升训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与矩形综合压轴题》专题提升训练（附答案） 典例引领： 例．如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点． 答案：(1) (2)9 (3)在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或 (4)证明过程见解析 分析：（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，过点P作于点E，利用点的坐标表示出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可； （3）当为矩形的边时，画出符合题意的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点P的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出结果；当为对角线时，画出相应的图形，求出结果即可； （4）利用配方法求得抛物线的顶点坐标、对称轴，再利用待定系数法求得直线、的解析式，进而求得点I、G的坐标，利用点的坐标表示出线段、的长度，即可得出结论． 解：（1）解：由题意可得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点P作于点E，如图， ∵点P的坐标为， ∴，， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ； （3）解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下： 如图，当为边时，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴和为全等的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点Q作轴于点D，轴于点E， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，，，， ∴， 整理得：， 分解因式得：， 解得：（舍去），（舍去），， ∴此时点Q的坐标为：． 综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或； （4）证明：∵， ∴抛物线的顶点D的坐标为，对称轴为直线， 设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点D是线段的中点． 点睛：本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 跟踪训练： 1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣1（b是常数）的对称轴为直线x＝﹣1，点A在这个抛物线上 （1）求该抛物线对应的函数表达式，并写出顶点C的坐标． （2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m． ①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求△ABC的面积． ②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，求h与m之间的函数关系式． （3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围． 2．如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（12，0）两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，请求出m的值； （3）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 3．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0）（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，沿AB以每秒2单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止 （1）当t＝2时，填空：线段AP＝