2023年九年级数学中考复习 二次函数与等腰三角形综合压轴题 专题提升训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与等腰三角形综合压轴题》 专题提升训练（附答案） 典例引领： 例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为腰的等腰三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 答案：(1) (2)存在，的最大值为， (3)存在，的坐标为或或或． 分析：（1）将、、代入抛物线解析式求解即可； （2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解； （3）设，可求，，分和，两种情况讨论，列出一元二次方程，即可求解． 解：（1）解：由题意得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，则有 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 设（）， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ∴当时，的最大值为， ， ． 故的最大值为，． （3）解：存在， ∵抛物线的对称轴为直线， 设， ， ， ， 当，即时， ， 解得：， ∴点M的坐标为或； 当，即时， ， 解得：， ∴点M的坐标为或； 综上所述：存在，的坐标为或或或． 点睛：本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，等腰三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键． 跟踪训练： 1．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（﹣1，0），直线y＝﹣x+m与该二次函数的图象交于A，与二次函数图象的对称轴交于点D，其中A点的坐标为（﹣3，4） （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）求△ABC的面积； （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究 如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，PB．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式． （2）①请用含m的代数式表示△PBC的面积． ②当△PBC的面积为时，求点P的坐标． （3）如图2，在（2）②的条件下，点Q是射线CO上的一个动点，当△CQG是等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C．直线y＝﹣3x+3过抛物线的顶点P． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F． ①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值； ②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标． 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段AO上一点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，连接FQ，FQ＝EQ，求点Q的坐标和△FEQ周长的最大值； （3）如图2，已知H（，0）．将抛物线上下平移，连接HN，当△AHN是等腰三角形时 5． 如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点B（﹣1，0），C（5，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图2，点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当△CPQ为等边三角形时 6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式及对称轴l； （2）设点P为直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标？ （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标，说明理由． 7．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，P（﹣1，0）两点（0，﹣3）． （1）若直线y＝x﹣3经过点A，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，点E（点E在点F的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位和5个单位，点Q为抛物线上点E（含点E，F）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围； （3）若抛物线C的顶点在第四象限，且△PAM为等腰三角形，求点A的坐标． 8．如图，抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）（3，0）三点，O为坐标原点，M为射线BD上一动点，连接OM，连接DF． （1）求抛