精品解析：上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

上海市曹杨二中2023学年度第一学期 高二年级期中考试数学试卷 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟，请考生用水笔或圆珠笔将答案直接写在试卷（或答题卷）上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于点O，若点P到三个平面的距离分别为1、、，则的长为______. 2. 设集合，集合，则______. 3. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______. 4. 已知，设向量，.若，则______. 5. 在长方体中，，，，则异面直线和的距离为______． 6. 设a＞0，b＞0，若是与3b的等比中项，则的最小值是__． 7. 已知球的半径为，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于与，则这两个平行平面的距离为__________. 8. 已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为______.（填“平行”或“相交”） 9. 已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为______. 10. 如图，求一个棱长为正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______； 11. 已知函数，若对于图像上的任意一点，在的图像上总存在一点，满足，且，则实数___________. 12. 已知是边长为1的等边三角形.对于空间中任意一点M，设P为内部（含边界）一动点，定义PM的最小值为点M到的距离.则空间中到的距离不大于1的点形成的几何体的体积为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 已知直线平面，则“直线”是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 若正三棱台的侧面与底面所成的锐二面角的大小为，则侧棱与底面所成角的正弦值是（ ） A B. C. D. 15. 设，.若对任意实数，函数在区间上函数值出现的次数不少于2次且不多于6次，则的值是（ ） A. 1或2 B. 2或3 C. 3或4 D. 4或5 16. 已知正四棱柱底面边长为，高为，则集合中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在空间直角坐标系中，已知、、. （1）若点满足，求； （2）求面积. 18. 在如图所示的圆柱中，是底面直径，是圆柱的母线，且.设是底面圆周上的动点. （1）求圆柱的表面积和体积； （2）当二面角的大小为时，求点到平面的距离. 19. 如图，在三棱锥中，和都是等腰直角三角形，且，，二面角的大小为. （1）求证：直线AB与直线PC不垂直； （2）求直线PB与平面ABC所成角的正弦值. 20. 如图，长方体中，，，点是棱的中点. （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； （3）若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 21. 对于项数为的有穷数列，若，则称为“数列”. （1）已知数列、的通项公式分别为，.分别判断、是否为“数列”；（只需给出判断） （2）已知“数列”的各项互不相同，且，.若也是“数列”，求有穷数列的通项公式； （3）已知“数列”是的一个排列（即数列中的项不计先后顺序，分别取），且，求的所有可能值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市曹杨二中2023学年度第一学期 高二年级期中考试数学试卷 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟，请考生用水笔或圆珠笔将答案直接写在试卷（或答题卷）上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于点O，若点P到三个平面的距离分别为1、、，则的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出，求出答案. 【详解】由于三个平面两两垂直，三条交线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，则. 故答案为： 2. 设集合，集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出，进而求出交集. 【详解】，， 故 故答案为： 3. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面