上海市上海大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

上海大学附属中学2023学年第一学期高三年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.集合A=（-2,1),B=（-0,0),则A∩B= 2.双曲线。上=1的渐近线方程是 24 3.若数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则S= 的二项展开式中x的系数为 5.已知正实数a、b满足ab=1,则a+4b的最小值等于 6.已知ā=(1,2)，b=（-2,3),则ā在b方向上的数量投影等于 7.已知P(512)在角a的终边上，则cos+a 8.已知一组数据a、3、-2、6的中位数为4，则其总体方差为 9.由函数的观点，不等式lnx<4-4的解集是 0.苑物线C上任意一点PK)布满足》-区-刂旷+(-可，则装线c的 2 焦点到准线的距离为一· 11.一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角 形所成的二面角的大小均为O,如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体， 则cos0= 12.对于数列{an},记b=min{a,a2,,a},k=1,2,n,n∈N,n≥1则称{bn}是{an}的 “下界数列”，令an=-n2+20n,{bn}是{an}的“下界数列”，则 (a,-b)+(a-b)++(an-bn)= (参考公式1P+22+3++川=nn+(2n+) 6 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13.已知a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的()条件 A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 14.从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节日中选出4个节日编排一个节目单，要求最 后一个节日必须是合唱，则这个节日单的不同编排方法共有() A.14种 B.48种 C.72种 D.120种 15.设抛物线C:y=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为二的直线与C交于M,N两 点，则FM·FN=( A.8 B.7 C.6 D.5 16.若一个角a∈[0,2π)，存在角B∈[0,2π)满足cos(a+B)=cosa+cosB,则称B为 《的伴随角”，有以下两个命题：①若a∈ 3’2 则必存在两个“伴随角”B∈[0,2π)： ②若u 则必不存在“伴随角”阝∈「0,2π）.则下列判断正确的是() A. ①正确②正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①错误②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，长方体ABCD-AB,CD中，AB=AD=1,AA=2,点P为棱DD的中点. (1)求证：直线BD/∥平面PAC: A (2)求直线AC,与平面PAC所成角的大小. P B 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. -D(@>0.mI) 已知函数f(x)=1og。x-2 (1)若m=-1时，判断函数f(x)在(2，+o)上的单调性，并说明理由. (2)若对于定义域内一切x,∫(1+x)+f(1-x)=0恒成立，求实数m的值. 19.(本题满分14分；第(1)小题6分，第(2)小题8分) 节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=3Okm, BC=I5km,为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（喊边界），且与A、B等距 离的一点O处，建造一个污水处理厂（选址与工厂不重合），并铺设三条排污管道AO、BO、 PO.设∠BAO=x(弧度)，排污管道的总长度为ykm. (1)将y表示为x的函数： (2)试确定O点的位置，使铺设时排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精 确到0.01). D 20.(本题满分18分；第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分) 己知椭圆y: 京+y=1（常数a≥2，点A(a,),B(-a,l),0为坐标原点. (1)求椭圆离心率的取值范围： (2)若P是椭圆y上任意一点，OP=mOA+nOB,求m+n的取值范围： (3)设M(x,y),N(x2,2)是椭圆y上的两个动点，满足koM KoN=ko4kos,试探究 △ON的面积是否为定值，说明理由. 21.(本题满分18分；第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分) 设y=f(x)是定义域为R的函数，如果对任意的x、x2∈R(x≠x2), f(x)-f(x)<x-均成立，则称y=f(x)是平缓函数”. (1)若f(x)=x,试判断y=f(x)是否为平缓函数”？并说明理由： (2)已知y=f(x)的导函数'(x