专题20 椭圆的标准方程5种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题20 椭圆的标准方程5种常见考法归类 1．椭圆的定义 (1)定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆． (2)相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 注：2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 2．椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ＋＝1 (a＞b＞0) ＋＝1 (a＞b＞0) 图形 焦点坐标 (±c,0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 注：把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上． 3.利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)． 4.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a． (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解． 拓展延伸：椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解． 5.求解与椭圆相关的轨迹问题的方法 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 椭圆的定义及其应用 考点二 求椭圆的标准方程 考点三 椭圆标准方程的充要条件 考点四 椭圆的焦点三角形问题 考点五 与椭圆有关的轨迹问题 考点一 椭圆的定义及其应用 1．（2023上·海南省直辖县级单位·高二校考期中）已知坐标平面上的两点和，动点P到A、B两点距离之和为常数3，则动点P的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．圆 D．椭圆 2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 3．（2023上·陕西宝鸡·高二校考期中）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P 的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 4．（2023上·辽宁·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，，，平面中动点P满足条件（m为常数，且），则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．直线 D．椭圆或线段 考点二 求椭圆的标准方程 5．（2023上·陕西渭南·高二校考阶段练习）求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程. 6．（2023上·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； (2)经过两点，． 7．（2023上·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，，焦点在y轴上； (2)焦距为4，且经过点； (3)经过点，的椭圆标准方程. 8．（2023上·江苏淮安·高二校考阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 9．（2023上·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知椭圆上一点，且（为椭圆的两个焦点），则椭圆的标准方程为 . 考点三 椭圆标准方程的充要条件 10．【多选】（2023上·江苏扬州·高二仪征市第二中学校考阶段练习）下列命题错误的是（    ） A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点满足，则的轨迹是椭圆 C．当时，曲线：表示椭圆 D．若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 11．【多选】（2023上·广东广州·高二广州市禺山高级中学校考期中）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当 时，曲线表示的图形是一个圆 B．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 C．当 时，曲线表示的图形是一个圆 D．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 12．【多选】（2023上·山西大同·高二统考期中）已知曲线，则（    ） A．当时