第15章 轴对称图形与等腰三角形（压轴必刷30题9种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（沪科版）

第15章 轴对称图形与等腰三角形（压轴必刷30题9种题型专项训练） 一．角平分线的性质（共2小题） 1．（2023秋•丰台区校级期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 2．（2023春•高新区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°． （1）求证：BF平分∠ABE； （2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°； （3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长． 二．线段垂直平分线的性质（共5小题） 3．（2020秋•霍邱县期末）如图，在△ABC中，线段AB、AC的垂直平分线与BC的交点分别为D、E． （1）若△ADE的周长是15，求BC的长； （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 4．（2023秋•罗定市期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O． （1）如图①，当∠ABC＝∠ACB＝25°时，直接写出∠DAE的度数为 　 　； （2）如图①，当AB≠AC，且90°≤∠BAC＝180°． ①若∠BAC＝120°，则∠DAE＝　 　°； ②当AD⊥AE时，求∠BAC的度数； （3）如图②，连接OA，OB，OC．若△ADE的周长为9cm，△OBC的周长为21cm，则BC＝　 　cm；OB＝　 　cm． 5．（2023秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 6．（2023秋•罗山县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E． （1）判断△DBC的形状并证明你的结论． （2）求证：BF＝AC． （3）试说明CE＝BF． 7．（2023秋•山西期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若AB＝3cm，求△CMN的周长． （2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数． 三．等腰三角形的性质（共6小题） 8．（2021秋•蜀山区期末）求证：等腰三角形两底角相等． 9．（2022秋•迎江区期中）在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长． 10．（2021秋•南谯区期中）求证：等腰三角形两底角的平分线相等． 11．（2023秋•荔城区期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°． （1）如图1，当点C在AD上时，∠BAC＝90°，连接CE，若∠ABC＝30°，求∠CED的度数； （2）如图2，若∠BAC≠90°，连接BE、CD，F为BE中点，连接AF，求证：AF＝CD． 12．（2023春•渠县校级期末）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义： 若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM＝QN＝MN时，称点Q为线段MN的“完美中垂点”． （1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是 　 　． Q1（0，4），Q2，（2，﹣4），Q3（1，） （2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（2，2）为线段OA的“完美中垂点”，写出线段OQ的两个“完美中垂点”是 　 　和 　 　，两者的距离是 　 　． （3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”，点P（0，m）在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M，直接写出MQ＝　 　（用含m的式子表示）．并求出∠MQA（写出简单思路即可）． 13．（2023秋•苏州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，动点D从点C出发，沿边CA﹣AB向点B运动，到点B时停止，若设点D运动的时间为t（t＞0）秒，点D运动的速度为每秒4个单位长度． （1）当t＝3时，