7.1 角与弧度（八大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

7．1 角与弧度 课程标准 学习目标 （1）知道弧度制是角的另外一种度量制，能说出以半径为基准度量角，知道度量单位即1弧度角是如何定义的，能画出1弧度的角，了解这样定义的合理性；能说出两种度量制之间的换算关系是，并能准确进行角的两种度量之间相互转化；了解其中蕴含的数形结合的数学思想方法，和数学知识之间的联系性； （2）能感受到引入弧度制的意义，比如，可以使弧长公式和扇形面积公式变得比较简洁． （1）掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. （2）熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角． （3）理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. （4）掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式． 知识点01 任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 知识点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 知识点诠释： （1）终边相同的前提是：原点，始边均相同； （2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； （3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍． 3、常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 【即学即练1】（2023·高一校考课时练习）已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（    ） A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 知识点02 弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 知识点诠释： （1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定． （2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径． 【即学即练2】（2023·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 题型一：角的概念 例1．（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 例2．（2023·高一校考课时练习）下列各命题正确的是（    ） A．第一象限角都是锐角 B．三角形的内角必是第一，二象限角 C．不相等的角终边必不相同 D．相等的角终边相同 例3．（2023·高一课时练习）射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 变式1．（2023·高一课时练习）下列说法正确的有几个（    ） （1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于小于的角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式2．（2023·高一课时练习）时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·高一课时练习）手表走过2小时，时针转过的角度为（    ） A．60° B．-60° C．30° D．-30° 【方法技巧与总结】 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 题型二：终边相同的角的表示 例4．（2023·全国·高一课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角． (1)； (2)； (3)． 例5．（2023·全国·高一随堂练习）写出