素养拓展37 圆锥曲线中的存在性和探索性问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展37 圆锥曲线中的存在性和探索性问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、圆锥曲线中的存在性问题 1.存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化． 一般步骤为： ①假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在, ②用待定系数法设出, ③列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 注：反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法． 【一般策略】 求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程. 二、圆锥曲线中的探索性性问题 1.对于探索性问题,一般先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在． 要注意：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件； (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法． 二、题型精讲精练 【典例1】已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点． (1)当k变化时，求点M的轨迹方程； (2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得且，即且，由韦达定理，得， 则，，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得出答案； （2）设，，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出，，则，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则，结合弦长公式列式得，即可化简代入得出，即可解出答案. 【详解】（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，得， 消去y，得．由且，得且． 由韦达定理，得．所以，． 由消去k，得． 由且，得或．所以，点M的轨迹方程为，其中或． （2）双曲线E的渐近线方程为． 设，，联立得，同理可得， 因为，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点． 若A，B为线段CD的两个三等分点，则．即，． 而，． 所以，，解得， 所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点． 【典例2】在平面直角坐标系中,动点,满足,记点的轨迹为． （1）请说明是什么曲线,并写出它的方程； （2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点,,线段的中点为,直线与交于两点,,请判断与的关系,并证明你的结论． 【解析】（1）设,,则因为,满足,即动点表示以点,为左、右焦点,长轴长为4,焦距为的椭圆,其轨迹的方程为； （2）可以判断出, 下面进行证明：设直线的方程为,,, 由方程组,得①, 方程①的判别式为,由,即,解得且． 由①得,, 所以点坐标为,直线方程为, 由方程组,得,, 所以． 又． 所以 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【题型训练-刷模拟】 1.存在性问题 一、解答题 1．双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 2．已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 3．已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与x轴重合）交椭圆于A，B两点．    (1)求椭圆M的标准方程； (2)若，求的面积； (3)是否存在直线，使得点B在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在直角坐标系中，抛物线与直线交于M，N两点． (1)若M，N的横坐标分别为，4，求直线l的方程及MN的中垂线所在的直线方程； (2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有?说明理由． 6．如图，为抛物线上四个不同的