素养拓展31 圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展31 圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、椭圆的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦. 二、双曲线的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 三、抛物线的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】设点在抛物线上，、，是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表： 标准方程 图形 焦半径公式 焦点弦公式 【焦半径形式2】直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角 （1）弦长AB＝ （2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p. （3），， ＋为定值. 二、题型精讲精练 【典例1】椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上，则的取值范围为_______. 【解析】由题意，，，，设，其中， 则，，所以 【典例2】双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足，则点P的坐标为_______. 【解析】由题意，，，，，由焦半径公式，，， 因为，所以，解得：或（舍去） 代入双曲线的方程可求得，所以P的坐标为. 【典例3】过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则_____. 【解析】设，则，所以，故. 【典例4】抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______. 【解析】解法1：由题意，，设，代入整理得：， 设两根为和，则，故直线l被抛物线C截得的弦长. 解法2：直线l被抛物线C截得的弦长. 【题型训练-刷模拟】 1.椭圆的焦半径和焦点弦公式 一、单选题 1．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（    ） A． B． C．2 D．4 2．已知动点在椭圆：上，为椭圆的右焦点，若点满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 3．已知椭圆的右焦点为，若过的直线与椭圆交于两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知为椭圆上任意一点，EF为圆的任意一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆：的右焦点为，点，为第一象限内椭圆上的两个点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D．2 7．如图，椭圆的左､右焦点分别为，，过点，分别作弦，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．已知椭圆和，椭圆的左右焦点分别为、，过椭圆上一点和原点的直线交圆于、两点.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为 . 12．已知椭圆，线段的两个端点在椭圆上移动，且是的中点，则的最大值是 ． 13．设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为 . 15．若直线：（其中）与圆相切，与椭圆：交于点，，为其右焦点，则的周长为 . 16．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 . 2.双曲线的焦半径和焦点弦公式 一、单选题 1．已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线