素养拓展17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、三角形中线问题 如图在中，为的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用） 二、角平分线问题 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， ①等面积法 （常用） ②内角平分线定理： 或 ③边与面积的比值： 二、题型精讲精练 【典例1】在中，内角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长. 【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果； （2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即，所以， 由余弦定理及得： ，又， 所以，即，所以， 所以. （2）由，所以， 由（1），所以，因为为边上的中线， 所以，所以（通过平方，将向量转化为数量） ，所以， 所以边上的中线的长为：. 【典例2】在中.AB＝2，AC＝，BC＝4，D为AC上一点. (1)若BD为AC边上的中线，求BD； (2)若BD为∠ABC的角平分线，求BD. 【分析】（1）利用余弦定理，先求得，然后求得. （2）利用余弦定理，先求得，即可求得、，利用等面积法求得. 【详解】（1）在中，， 因为BD为AC边上的中线，所以， 在中，，所以（活用两次余弦定理） （2）在中，， 由于，所以. 因为BD为的角平分线，所以. 由，得（等面积法） 即，解得. 【题型训练-刷模拟】 1.中线问题 一、解答题 1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别是，，，已知． （1）求； （2）若边上的中线的长为，求面积的最大值． 2．（青海省海东市2023届高三第三次联考数学试题）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求边上的中线的最大值． 3．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求边中线的取值范围． 4．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的值； （2）若边上的中线，求的面积． 5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知为的内角所对的边，向量,，且． (1)求； (2)若，的面积为，且，求线段的长． 6．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积. 7．（2023·全国·高三专题练习）已知的三个内角、、所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线长为，求的周长． 8．（2023·全国·高三专题练习）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线，求的面积. 9．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知中，，， (1)求； (2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值． 10．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角所对的边分别为，已知. (1)求的大小； (2)的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长. 11．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A； (2)若，的面积为，求边BC的中线AD的长. 12．（2023·全国·高三专题练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的值； (2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围． 13．（浙江省重点中学拔尖学生培养联盟2023届高三下学期6月适应性考试数学试题）在中，角的对边分别为且， (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 14．（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （I）求△ABC的面积； （II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长． 15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 16．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求角的大小； (2)若，点满足，点满足，求. 17．（2023·全国·高三专题练习）在中， (1)求角A的大小 (2)若BC边上的中线，且，求的周长 18．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小