专题02 函数及其应用、指对幂函数（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题02 函数及其应用、指对幂函数 易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及解析式的求算） 已知函数的具体解析式求定义域的方法 法1：若是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集. 法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可. 函数解析式的常见求法 法1：配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换. 法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. 法3：换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围. 法4：解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 分段函数 第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． 第二步：当出现的形式时，应从内到外依次求值． 第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。 结论：复合函数： 一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中叫做复合函数的外层函数，叫做的内层函数. 抽象函数的定义域的求法： (1)若已知函数的定义域为，则复合函数的家义域由求出. (2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域. 易错提醒：函数的概念 ①一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合叫做值域，记为. ②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. ③函数表示法：函数书写方式为， ④函数三要素：定义域、值域、对应法则. ⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： ①分式的分母不为零； ②偶次方根的被开方数大于或等于零： ③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； ④零次幂或负指数次幂的底数不为零； ⑤三角函数中的正切的定义域是且； ⑥已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； ⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 基本初等函数的值域 ①的值域是. ②的值域是：当时，值域为；当时，值域为． ③的值域是. ④且的值域是. ⑤且的值域是. 分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 例．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1：设，若，则（    ） A．14 B．16 C．2 D．6 变式2：已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式3：已知函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的值域为 1．已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 2．给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数满足，则可能是（    ）． A． B． C． D． 5．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．集合，，则（    ） A． B． C． D． 易错点二：忽视单调性与单调区间的主次（函数的单调性与最值） 1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。 2.函数在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。 3.函数的单调定义中的、有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。 4.求函数的单调区间必须先求定义域。 5.判断函数单调性常用以下几种方法： 方法1：定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号→得出结论. 方法2：图象法：如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性. 方法3：导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间. 方法4：性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及增减性质进行判断； 6.求函数最值（值域）的常用方法 方法1：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 方法2：图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最