上海市向明中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

向明中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一、填空题(本大题共12题,每题3分,满分36分) 1.已知一个球的半径为3,则这个球的表面积为_. 2.若平面,直线,直线,,则点与的位置关系为_. 3.若向量与向量共线,则_. 4.在正方体中,异面直线与所成角的大小是_. 5.如图所示,是利用斜二测画法画出的的直观图,已知轴,,且的面积为16,过作轴,则_. 6.已知一个圆柱的轴截面为正方形,且它的侧面积为,则该圆柱的体积为_. 7.如图,在四棱锥中,底面,底面是边长为1的正方形,,则侧面与底面所成的二面角的大小是_. 8.如图,在正三棱柱中,,为的中点,为线段上的点.则的最小值为_. 9.已知向量,,则向量在向量方向上投影向量的坐标为_. 10.正方体的棱长为2,是棱的中点,则平面截该正方体所得的截面面积为_. 11.如下图所示,在平行六面体中,底面为菱形,且,则侧棱与底面所成的角为_. 12.如图,在正方体中,点在线段上运动,下列判断中,正确的是_(把所有正确判断的序号都填上). ①平面平面;②平面; ③异面直线与所成角的取值范围是; ④三棱锥的体积不变. 二、单选题(本大题共4题,每题4分,满分16分) 13.若球的表面积扩大到原来的4倍,那么该球的体积扩大到原来的( ) A.64 B.32 C.16 D.8 14.在直三棱柱中,,,,点为棱的中点,点是棱上的一点,且,则直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 15.阅读材料:空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为;过点且一个方向向量为的直线的方程为.利用上面的材料,解决下面的问题:已知平面的方程为,直线的方向向量为,则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 16.已知正方体的棱长为1,分别为棱上的动点,则四面体的体积最大值为( ) A. B. C. D. 三、解答题(本大题共5题,满分48分) 17.(本题共2小题,第一小题4分,第二小题4分,满分8分) 已知空间中的三点,,,,. (1)求的面积; (2)当与的夹角为钝角时,求的范围. 18.(本题共2小题,第一小题4分,第二小题5分,满分9分) 已知是底面边长为1的正四棱柱,高.求: (1)异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数表示); (2)四面体的体积. 19.(本题共两小题,第一小题4分,第二小题5分,满分9分) 如图,将边长为2的正方形沿对角线折叠,使得平面与平面所成二面角为直角,平面,且. (1)求证:直线与平面平行; (2)求点到平面的距离. 20.(本题共2小题,第一小题4分,第二小题5分,满分9分) 如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,,,. (1)证明:; (2)线段上是否存在一点,使得直线垂直平面,若存在,求出线段的长,若不存在,说明理由. 21.(本题共3小题,第一小题4分,第二小题4分,第三小题5分,满分13分) 如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,垂直于圆所在的平面,且. (1)若为线段的中点,求证:平面; (2)求三棱锥体积的最大值; (3)若,点在线段上,求的最小值. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11. 12.①②④ 11.如下图所示,在平行六面体中,底面为菱形,且,则侧棱与底面所成的角为_. 【答案】 【解析】根据三余弦定理可得:,解得. 12.如图,在正方体中,点在线段上运动,下列判断中,正确的是_(把所有正确判断的序号都填上). ①平面平面;②平面;③异面直线与所成角的取值范围是;④三棱锥的体积不变. 【答案】①②④ 【解析】对于①:连接,根据正方体的性质,有平面,又平面,所以平面平面,①正确; 对于②:连接,易证平面平面,从而由线面平行的定义可得平面,所以②正确; 对于③:当与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,当与线段的中点重合时,与所成角取得最大值为,所以与所成角的范围是,③错误; 对于④:由,因为到平面的距离不变,且三角形的面积不变,所以三棱锥的体积不变,④正确; 综上知,正确的命题序号是①②④,故答案为:①②④ 二、选择题 13.D 14. D 15.A 16.A 15.阅读材料:空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为;过点且一个方向向量为的直线的方程为.利用上面的材料,解决下面的问题:已知平面的方程为,直线的方向向量为,则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由平面的方程可知:平面的一个法向量可取,而直线的方向向量为,∴,故选:A. 16.已知正方体的棱长为1,分别为棱上的动点,则四面体的体积最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过点作交,连