专题37 相似三角形一线三等角（K字）型-初中数学模型与解题方法专题训练（通用版）

37 相似三角形一线三等角（K字）型 一、单选题 1．如图，点分别在反比例函数的图象上．若，，则a的值为（    ） A． B． C．4 D．2 2．如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（    ） A．6 B． C．10 D． 3．如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，点是正两边上的点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 9．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ． 10．已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ． 11．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为 12．如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为 ． 13．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ． 14．如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ． 三、解答题 15．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 16．[感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明） [探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， （1）求证：△DAP∽△PBC． （2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长. [应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作 ，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长. 17．如图，，且，，，在上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，若存在，求的长，若不存在，请说明理由． 18．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°． （1）求证：△BED∽△CFE； （2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长． 19．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证：； （2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长． 20．如图，在正方形中，点在上，交于点． （1）求证：； （2）连结，若，试确定点的位置并说明理由． 21．如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，． （1）求的长． （2）求证：． 22．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°． （1）求证：； （2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长． 23．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出