第1章 因式分解应用专题-【天梯学案】2023-2024学年八年级上册数学同步新课堂(鲁教版五四制)

因式分解应用专题|第一章 因式分解应用专题 1.先阅读下列材料，然后解题： (2)上述算式的规律可以用文字概括为“两个 因为(x-2)(x+3)=x2+x-6,所以(x2+ 连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个 x-6)÷(.x一2)=x十3，即x2十x-6能被x 连续奇数分别为2n十1和2n十3(n为整数)， 2整除.所以x一2是x2+x一6的一个因式， 请说明这个说法是成立的： 且当x=2时，x2十x一6=0. (3)“两个连续偶数的平方差能被8整除”这 (1)类比思考：(x十2)(x+3)=x2十5.x十6，所 个说法成立吗？若成立，请说明理由：若不成 以x2+5.x+6能被 整除.所以 立，请举出反例。 是x2十5.x+6的一个因式，且当x= 时，x2+5x+6=0. (2)拓展探究：根据以上材料，已知多项式 x2十mx一14能被x十2整除，试求m的值. 3.阅读材料：若m2一2mn十2n2一8n+16=0,求 m,n的值， 解：，m2-2mn+2n2-81+16=0. ∴.(m2-2mn十n)+(n2-8n+16)=0, ,.(m-n)2十(n-4)2=0, .(m-)2=0,(n-4)2=0, 2.认真观察下面这些算式，并结合你发现的规 ∴.n=4,m=4. 律，完成下列问题 根据你的观察，探究下面的问题： 算式①：32-12=(3+1)×(3-1)=8 (1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2.x+y 的值： 8×1, (2)已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,求a+ 算式②：5-3=(5+3)×(5-3)=16 b十c的值： 8×2, 算式③：72-5=(7+5)×(7-5)=24 8×3, 算式④：92-72=(9十7)×(9-7)=32 8×4, … (1)请写出： 算式⑤： 算式⑥： 数学（八年级上册）儿J11 天梯学案初中同步新课堂“ 4.给你若干张矩形和正方形卡片，如图所示，请6.先阅读下列材料，再解答下列问题： 你用拼图的方法拼成一个大矩形，使它的面 材料：因式分解：(x十y)2+2(x+y)十1. 积等于a2十5ab+4b,并根据你拼成的图形 解：将“x十y”看成整体，令x十y=A,则 分解因式a2+5ab+4b 原式=A2+2A+1=(A+1) 再将“A”还原，得原式=(x+y+1) 上述解题时用到的是“整体思想”，整体思想 是数学解题中常用的一种思想方法，请你解 答下列问题： (1)因式分解：1十2(x-y)十(x一y)= (2)因式分解：(a十b)(a+b-4)十4： (3)证明：若n为正整数，则式子(n+1)(n十 2)(n2十3n)+1的值一定是某一个整数的 平方. 5.观察下列各式： 第1个等式：9-1=4×2=8， 第2个等式：16一4=6×2=12， 第3个等式：25-9=8×2=16， 第4个等式：36-16=10×2=20， (1)这些等式反映了自然数间的某种规律，设7.阅读理解以下文字： n(n≥1)表示自然数，则第n个等式为 我们知道，多项式的因式分解就是将一个多 项式化成几个整式的积的形式.通过因式分 (2)证明(1)中的第n个等式. 解，我们常常将一个次数比较高的多项式转 化成几个次数较低的整式的积，来达到降次 化简的目的.这个思想可以引领我们解决很 多相对复杂的代数问题。 例如：方程2x2十3.x=0就可以这样来解： 解：原方程可化为x(2x十3)=0， 所以x=0或2.x十3=0. 解方程2x十3=0，得.x=- 所以解为西=02=一多 2 12|数学（八年级上册）儿■ 因式分解应用专题引第一章人 根据你的理解，结合所学知识，解决以下9.阅读下列材料，回答问题 问题： 正整数m(m≥2)可分解成两个正整数的和， (1)解方程：(x十3)2一4x2=0: 即m=s十t(s,t是正整数，且s≤t),在m的所 (2)解方程：x2-5x=6: 有这些加和中，若，1两加数之差的绝对值最 (3)已知△ABC的三边长为4，x,y,请你判断 小，称s十1为m的最美加和，并规定F(m)= 代数式16y+2.x2-32-2y的值的符号， 7s一61，如： 7=1+6=2+5=3+4,因为6-1>5-2> 4一3，所以3十4为7的最美加和，所以F(7)= 7×3-6×4=-3. (1)F(8) ,F(9)= (2)对任意的正整数n(n≥2)，用含n的代数 式分别表示出当n为奇数、n为偶数时 的F(n): (3)若一个三位正整数q是7的倍数，且满足 8.阅读与思考： 各位数字之和为7，称这个数g为“潜力数”， 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部 求所有“潜力数”中F(g)的最大值. 分通过恒等变形化为完全平方式或儿个完全 平方式的和.巧妙地运用“配方法”能对一些