专项训练六 构造全等三角形的常用方法-【勤径千里马】2023-2024学年七年级下册数学走向假期（北师大版）

(5)∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴∠DCM=∠ECN=60°. ∵△ACE≌△BCD,∴∠CEN=∠CDM, ∠DCM=∠ECN, DC=EC,在△DCM和△ECN中， CDM=∠CEN, ∴△DCM≌△ECN(ASA). (6)∵△ACN≌△BCM,∴CN=CM. ∵∠MCN=60°,∴△MCN是等边三角形. (7)∵△MCN是等边三角形，∴∠CMN=60°, ∴∠CMN=∠ACB,∴MN//BE. (8)如答图①,过点C作CP⊥BD于点P,作CQ⊥AE于 点Q. ∵△ACE≌△BCD,∴AE=BD,SAA=SA, ∴÷AE·CQ=÷BD·CP,∴CQ=CP,∴FC平分∠BFE. A R MA C 10 题答图① D Q F B2 C 10 题答图② (9)如答图②,在 FB上截取 FG=FC,连接CG. ∵∠CFG=60°, ∴△CFG是等边三角形， ∴CF=FG=CG. 易证△BCG≌△ACF,∴BG=AF, ∴BF=BG+FG=AF+CF.同理可证，EF=CF+DF. 专项训练六 构造全等三角形的常用方法 1.证明：过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, ∴∠PEO=∠PFO=90°.∴∠EPF+∠AOB=180°. ∵∠MPN+∠AOB=180°,∴∠EPF=∠MPN. ∴∠EPM=∠FPN. ∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,∴PE=PF. ∠EPM=∠FPN, PE=PF,在△PEM和△PFN中， ∠PEM=∠PFN, ∴△PEM≌△PFN(ASA).∴PM=PN. 2.解：FE=FD.理由略. 3.解：如答图，延长AD至点E,使得AD=DE,连接 BE. 易知△BDE≌△CDA,∴BE=CA=2. 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, ∴4-2<2AD<4+2,∴1<AD<3, ∵AD是整数，∴AD=2. A B≠ D c 成 3 题答图 4.证明：如答图，延长AD至点M,使DM=AD,连接CM. ∵BD=CD,∠ADB=∠MDC,AD=MD, ∴△ABD≌△MCD,∴AB=MC,∠B=∠MCD. ∵AB=CE,∴MC=CE. ∵∠BAC=∠BCA,∴∠B+∠BAC=∠BCA+∠MCD, ∴∠ACM=∠B+∠BAC=180?-∠ACB=∠ACE. ∵AC=AC,∴△ACM≌△ACE,∴AM=AE. ∵AM=2AD,∴AE =2AD. EB2 加 ℃ ⋯利 4 题答图 5.证明：如答图，延长AF到点G,使FG=FA,连接 DG. ∵FG=FA,∠DFG=∠EFA,DF=FE, ∴△GFD≌△AFE, ∴GD=AE=AC,∠G=∠FAE, ∴DG//AE,∴∠GDA+∠DAE=180°. 又∵∠BAC+∠DAE=360?-90°-90°=180°, ∴∠GDA=∠BAC. 又∵AD=AB,DG=AC,∴△ADG≌△BAC, ∴AG=BC,∴BC=2AF. k .G E E B c (2)如答图，延长 CN至点F,使CF=AE,连接 BF:⋯在△CAE和△BCF中， ∴△CAE≌△BCF(SAS), BK ;F N ∴∠ACE=∠CBF=90°,CE=BF. Ek ∵∠CBA=45°,∴∠FBN=∠EBN=45°. CL ∵E为BC的中点，∴CE=BE=BF. 8题答图 A 5题答图 6.证明：如答图，在AB上截取AE=AC,连接DE, 可证△DEA≌△DCA, ∴∠AED=∠ACD=∠BED=90°, 又可证得△DEA≌△DEB, ∴AE=BE,∴AB=2AE=2AC. 在△BBN和△FBN中， ∴△EBN≌△FBN(SAS), ∴EN=FN,∴AE=CF=CN+EN. 专项训练七 与等腰三角形有关的分类讨论 B? D >c 1. D 2.16或17 3.解：若设这个等腰三角形的腰长为xcm,底边长为ycm,可 6 题答图 7.证明：如答图，延长 EB到点G,使BG=DF,连接AG. ∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD, ∴△ABG≌△ADF, ∴AG=AF,∠1=∠2, ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF =÷∠BAD, ∴∠GAE=∠EAF. BE 又∵AE=AE,∴△AEG≌△AEF, 7题答图 ∴ EG=EF. D C ·EG=BE+BG ∴EF=BE+DF. 8.证明：(1)∵∠CAB=∠CBA=45°,∴∠ACB=90°. ∵CN⊥AE,∴∠COE=90°, ∴∠CEA+∠CAE=90°,∠CEA+∠BCN=90°, ∴∠BCN=∠CAE. +2x=9, [x+2x=12 {==得 或， 解得2x+y=12 即当腰长是6cm时，底边长是9cm; 当腰长是8cm时，底边长是5cm. 4.解：依题意可画出如答图①和如答图②两种情形. 答图①中顶角为45°,答