专题08 相似三角形的基本模型（手拉手模型）-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题08 相似三角形的基本模型（手拉手模型） 【模型说明】 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，（即△COD∽△AOB）； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE. 【例题精讲】 例1．（等腰三角形）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 例2．（直角三角形）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P． (1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______； (2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； (3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值． 例3．（等边三角形）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 例4．（正方形）如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．    （1）问题发现：在图（1）中，_________； （2）拓展探究：将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明； （3）问题解决 当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 例5．（培优综合1）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：． （2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？ 小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系． （3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值． 例6．（培优综合2）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值． （1）①__________； ②__________； ③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②． （2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求： ①__________（用k的代数式表示） ②__________（用k、的代数式表示） 课后训练 1．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合． 【探究】求证：． 【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4． (1)的值为______． (2)若，则MN的长为______． 2．将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种变换记为． （1）问题发现 如图①，对作变换得，则______；直线与直线所夹的锐角度数为______． （2）拓展探究 如图②，中，且，连结，．对作变换得，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，