专题06 相似三角形的基本模型（子母型）-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题06 相似三角形的基本模型（子母型） 【模型说明】 “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 【例题精讲】 例1．（基本模型1）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：； （2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值； （3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值． 例2．（基本模型）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过分别作交于，于． ①求证：； ②求的值． 例3．（培优综合1）如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为 ． 例4．（培优综合2）如图，在中，，，，，，则CD的长为 ． 例5．（最值问题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ；当CG取最小值时，CE的长为 例6．（与圆综合）如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点．弦平分，交直径于点，连接． （1）求证：平分； （2）探究线段，之间的大小关系，并加以证明； （3）若，，求的长． 例7．（与函数综合）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标； （2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式． 课后训练 1．如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 3．如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为 ，的长为 ． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是 ． 5．如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝ ． 7．在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长． （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域． （3）连接，当与相似时，求线段的长． 8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，P为BA延长线上一点，连接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延长交AD于F． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）求证：； （3）若，，求PA的长． 9．（1）问题感知 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，点P是边AC的中点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．连接AD．过点P作PE∥AB交BC于点E，则图中与△BEP全等的三角形是　 　，∠BAD＝　 　°； （2）问题拓展 如图2，在△ABC中，AC＝BC＝AB，点P是CA延长线上一点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转到线段PD，使得∠BPD＝∠C，连接AD，则线段CP与AD之间存在的数量关系为CP＝AD，请给予证明； （3）问题解决 如图3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，点P在直线AC上，且∠APB＝30°，将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，连接AD，请直接写出△ADP的周长． 10．如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一