专题04 相似三角形的基本模型（A字型）-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题04 相似三角形的基本模型（A字型） 【模型说明】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 　 图3 1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 【例题精讲】 例1．（基本模型1）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 例2．（基本模型2）（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：． （2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点． ①如图，若，直接写出的长； ②如图，求证：． 例3．（培优综合）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ． 例4．（与函数综合）如图，函数（为常数，）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若，则 ． 例5．（最值问题）如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是 ． 【变式训练1】．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【变式训练2】．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ． 【变式训练3】．如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为 ． 【变式训练4】．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（　　）    A．9 B．12 C．15 D．18 【变式训练5】．如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长． 课后训练 1．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．在矩形ABCD中，，，点E 是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点落在△BCD的边上时，AE的长为 ． 3．如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为 ． 4．在平面直角坐标系中，已知，，点是轴正半轴上一动点，以为直角边构造直角，另一直角边交轴负半轴于点，为线段的中点，则的最小值为 ． 5．已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则 ． 6．如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则 ． 7．一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 8．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G． （1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG； （2）当α≠60°时， ①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG； ②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长． 9．在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．    （1）在图1中，求证：； （2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F， 求证：①； ②． 10．在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长； （3）联结，如果与以