专题24.4 圆与二次函数的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题24.4 圆与二次函数的综合 【典例1】如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径； （3）直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值． 【思路点拨】 （1）由题意及抛物线的对称性知：，即可求得m的值，从而用待定系数法可求得函数解析式； （2）首先求出直线的解析式为，由轴及点Q在抛物线上，可得点Q的坐标，从而求得的长度，分两种情况讨论：当与x轴相切时；当与y轴相切时；分别利用圆心到切线的距离等于半径得到方程，解方程即可求得半径； （3）由知，直线过点，则得轴，且；联立直线与抛物线的解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由，可得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值． 【解题过程】 （1）解：抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线 、关于对称轴对称， ， 解得：， 即，， 把A、B两点坐标代入中，得， 解得： 则所求函数解析式为； （2）解：对于，令，得， ， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 所以直线的解析式为， 设点， 轴，点Q在抛物线上， Q的坐标为， ； 当与x轴相切时； ， 即，或， 解得：，或， 显然时点P、Q与点A重合，不合题意，则及， 当时，；当时，， 此时的半径分别为2或4； 当与y轴相切时； ， 即，或， 解得：，，或，， 显然时点P、Q与点C重合，不合题意，则及， 此时的半径分别为4或2； 综上，与坐标轴相切时，的半径分别为2或4； （3）解：如图， 当时，， 直线过点， ， 轴，且； 联立直线与抛物线的解析式得：， 消去y得：， ， ，， ， ， ， 当时，有最小值16，从而的面积有最小值． 1．（22·23上·南京·阶段练习）已知抛物线过点，顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示，以AB为直径作圆，记作⊙D． （1）试判断点C与⊙D的位置关系； （2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形为平行四边形．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23·24上·长沙·阶段练习）如图，抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为y轴，且经过和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的总经过定点．    （1）求a，b，c的值； （2）求证：在点P运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径； （3）设与x轴相交于两点，当是以为底边的等腰三角形时，求圆心P的纵坐标． 3．（22·23上·广州·期末）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，点的坐标为，经过三点，且圆心在轴上． （1）求的值． （2）求的半径． （3）过点作直线，交轴于点，当直线与抛物线只有一个交点时直线是否与相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线与的另外一个交点的坐标． 4．（22·23上·广州·期末）如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． （1）试用含a的代数式表示c； （2）若恒成立，求出此时该抛物线解析式； （3）在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 5．（21·22·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与轴相交于、两点，与轴相切于点，抛物线经过点、、，顶点为．    （1）求抛物线的表达式； （2）点为轴上一点，连接，，是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标及的周长最小值；若不存在，请说明理由． 6．（21·22下·长沙·期中）如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． （1）求∠AOB的度数； （2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 7．（21·22上·长沙·阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标． 8．（20·21下·扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为顶点P的坐标为，以AB