精品解析：河北省保定市六校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

六校联盟高二年级期中联考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 2. 过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的右焦点为，直线过点，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的实轴长为 D. 双曲线的顶点坐标为 5. 加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若为正方形，则的边长为 C. 椭圆的蒙日圆方程为 D. 长方形的面积的最大值为 6. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的内切圆半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 6 8. 下列命题中，是假命题的是（ ） ①若直线与直线平行，则的值为或0； ②若为双曲线上两点，则可以是线段的中点； ③经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示； ④向量的夹角为钝角时，实数的取值范围是. A ①④ B. ③④ C. ①②④ D. ②④ 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 若为空间的一个基底，则不能构成空间的另一个基底 B. 若非零向量与平面内一个非零向量平行，则所在直线与平面也平行 C. 若平面法向量分别为，则 D. 已知为直线的方向向量，为平面的法向量，则 10. 若点是圆上任意一点，则点到直线的距离可以为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 5 11. 已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ） A. 若过的直线与椭圆交于两点，则的周长为12 B. 椭圆上存在点，使得 C. 若为椭圆上一点，且与的夹角为，则的面积为 D. 若为椭圆上一点，为圆上一点，则点之间的最大距离是9 12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面是线段上的一点，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. 若点为线段中点，则直线平面 D. 若，则直线与平面所成角的余弦值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为__________. 14. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________. 15. 如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________. 16. 某地发生地震，呈曲线形状的公路上任意一点到村的距离比到村的距离远，村在村的正东方向处，村在村的北偏东方向处，为了救援灾民，救援队在曲线上的处收到了一批救灾药品，现要向两村转运药品，那么从处到、两村的路程之和的最小值为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. （1）求点的轨迹方程； （2）如果把倍改成倍，求点的轨迹. 18. 已知椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，求的最小值. 19. 如图，已知正方体的棱长为，是的中点. （1）求证：平