专题3.2 解三角形（分层练）（四大题型+7道精选真题）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（新高考专用）

专题验收评价 专题3.2 解三角形 内容概览 A·常考题不丢分 题型一 正弦余弦定理基本应用 题型二 解三角形三线问题 题型三 解三角形中周长面积问题 题型四 解三角形中范围问题 C·挑战真题争满分 题型一 正弦余弦定理基本应用 一、单选题 1．（2023·江西赣州·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得、，利用余弦定理化简计算即可求解. 【详解】由，得， 由成等差数列，得， 由余弦定理，得， 即， 整理，得，由得， 由得. 故选：C. 2．（2023下·安徽滁州·高三校考开学考试）在三角形中，记为的面积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形的面积公式结合求出角，再根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的关系即可得解. 【详解】，， 因为，即， 又，则， 所以. 故选：A． 3．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在中，角的对边分别为，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可. 【详解】解：因为， 所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得. 故选：A 4．（2021下·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理、三角形的面积公式求得，进而求得. 【详解】依题意，， 由余弦定理得， ①， 由三角形的面积公式得，代入①得 ，， ， 由于， 所以. 故选：C 题型二 解三角形中三线问题 一、单选题 1．（2023上·江苏苏州·高三常熟中学联考）的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（    ） A． B． C．3 D．或3 【答案】A 【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，结合面积公式，求得，即可求解. 【详解】由，因为，可得， 又由边上的角平分线，所以， 在中，可得， 在中，可得, 因为，且， 所以，即， 在中，由余弦定理可得， 所以， 又由，即， 因为，可得，即，可得， 所以. 故选：A.    2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据正弦定理可得，再建立平面直角坐标系求解的轨迹方程，进而可得面积的最大值. 【详解】在中，在中， 故，， 因为，故， 又角的平分线交于点，则，故. 故. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，， 故，，设，则， 即，故， 化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）. 故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.    故选：C 二、填空题 3．（2023下·河南周口·高三期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为的重心，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】记BC的中点为D，利用重心的性质先得到，再由向量的知识可得，，再利用锐角可得，最后利用函数的单调性可得的取值范围． 【详解】记BC的中点为D，由，G为的重心，可得． 又由，有， 即， 化简可得． 又由为锐角三角形，故， 即，化简可得． 又由． 令，由函数单调递增， 可得，可得． 故答案为：. 三、解答题 4．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）记的内角的对边分别为，已知. (1)求A的值； (2)若的平分线与交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 则， ， 即， 可得， 因为，则，则， 整理得， 又因为，则， 可得，所以. （2）因为平分且，所以， 由，可得， 整理得，则，当且仅当时，等号成立， 故面积的最小值为． 5．（2023上·湖北·高三鄂南高中联考期中）在中，角A，B，C的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若是线段的中点，且，求的面积. 【答案】(1)(2)4 【详解】（1）， 由正弦定理可得， 整理，即， 又，则， ，又. （2）法一：如图，取中点，连接， 是线段的中点，, 在中，, 由余弦定理可得, . 法二：因为是线段的中点，， ，即， ，. 题型三 解三角形中周长面积问题 1．（2023·湖南·校联考模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得． 又，所以． 因为，所以． 又，所以，． （2）的面积，则． 由余弦定理：，得， 所以，故