专题3.2 解三角形（讲义）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（新高考专用）

专题3.2 解三角形 01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧） 02考情分析·解密高考 03高频考点·以考定法（四大命题方向+四道高考预测试题，高考必考·（10-17）分） · 命题点1 正弦余弦定理基本应用 · 命题点2 解三角形中三线问题 · 命题点3 解三角形中周长面积问题 · 命题点4 解三角形中最值范围问题 高考猜题 04创新好题·分层训练（ 精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升） 解三角形是新高考中必考点，一般以1+1（一道小题一道解答题） 或者是0+1（只出现一道解答）形式出现，往往放在解答题前两题，相对难度比较小。 真题多维细目表 考点 考向 考题 解三角形 1 正弦余弦基本应用 2 解三角形中三线问题 3 解三角形中周长面积问题 4 解三角形中最值范围问题 2023全国乙卷T4 全国乙卷T17 2021 全国甲卷T8 2023新高考甲卷T16 2023新高考Ⅰ卷T17 2023新高考Ⅱ卷T17 全国乙卷T18 甲卷T17 2022乙卷T17 新高考Ⅱ卷T18 2021全国乙卷T15 2021新高考Ⅱ卷T18 2022全国甲卷 2022年新高考Ⅰ卷T18 命题点1 正弦余弦定理基本应用 典例01 （2023·全国乙卷）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 典例02 （2023·全国乙卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【答案】(1)； (2)证明见解析．（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． 【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 命题点2 三角形中三线问题 典例01 （2023·全国甲卷）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 典例02 （2023·全国新课标Ι）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1)(2)6 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 对于解三角形中的出现的角平分线问题 ，方法技巧在于用等面积法进行转化，或者是采用角平分线定理（角平分线定理属于二级结论解答题中需要进行证明，小题中可以直接采用），对于求高有关的问题也是采用面积等于底乘以高转化成三角形中面积公式。对于中线问题，一般思路是向量思想，小题中可以采用激化恒等式去求解。 命题点3 解三角形中周长面积问题 典例01 （2023·全国高考乙卷）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得； (2)由题意可得，则，据此即可求得的面积. 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 典例02 ．（2022·全国高考乙卷）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析(2)14 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解. 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； （2）解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 命题点4 解三角形中最值范围问题 典例01 （2022·全国·高考甲卷）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【答案】/ 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ，当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，.故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴