第八章 函数应用（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第一册）

第八章 函数应用（知识归纳+题型突破） 1．结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系． 2．了解零点存在定理，会判断函数零点的个数． 3．探索用二分法求方程的近似解的思路． 4．能借助计算工具用二分法求方程的近似解． 5．会利用已知函数模型解决实际问题． 6．能建立函数模型解决实际问题． 1．函数的零点 (1)概念：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点． (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程根的关系． 2．零点存在定理 一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点． 3．二分法 二分法是求一元方程近似解的常用方法；运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间． 4．用二分法求方程的一个近似解的操作流程 在上述操作过程中如果存在c，使得f(c)＝0，那么c就是方程f(x)＝0的一个精确解． 5．三种函数模型的性质 三种函数模型的性质 函数 性质　　　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随α值的不同而不同 增长速度 ax的增长快于xα的增长，xα的增长快于logax的增长 增长后果 当x足够大时，有ax>xα>logax(a>1) 6．常见的函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数型函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，a≠1) (4)对数型函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0，a≠1) (5)幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (6)分段函数模型 y＝ 7．解决实际问题的一般程序 实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题 题型一　求函数的零点 【例1】　(1)函数f(x)＝x2－2x－3的零点为________． (2)若x＝2是f(x)＝x2－mx－3的一个零点，则实数m的值为________． 思维升华　 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 巩固训练 1．函数f(x)＝x2－mx＋3在R上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为________． 2．函数f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零点，则实数m的取值范围为________． 3．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________． 4．函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________． 题型二　判断或证明函数零点的存在性 【例2】　求证：函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点． 思维升华　 1．若函数的零点易求，可直接求出零点，否则利用函数零点存在定理判断． 2．利用函数零点存在定理时，关键在于找准区间，且只能判定在区间上零点的存在性，但需注意，不满足定理的条件，也可能存在零点，另外要判定有几个零点，需结合函数的性质或图象进行判定． 巩固训练 1．证明：函数f(x)＝2x＋x在R上有零点． 题型三　函数零点个数问题 【例3】　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数． 思维升华　 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 巩固训练 1．函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 题型四　判断函数零点所在的区间 【例4】　(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　) A．(－3，－1)和(2，4) B．(－3，－1)和(－1，1) C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞) (2)已知函数f(x)＝－log2x，在下列