专题04 二次函数的恒成立问题压轴题专题-2024年中考数学压轴题专项训练（湖南专用）

专题04 二次函数的恒成立问题压轴题 通用的解题思路： 第一步：先分析是求函数的最大值还是求函数的最小值：①如果恒成立，则求函数的最小值Min；②如果恒成立，则求函数的最大值Max。 第二步：再将所求的最大值或最小值代入不等式，得或者，再解不等式求出参数m的范围。 1.（长沙中考）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． （1）若为等腰直角三角形，求的值； （2）若对任意，、两点总关于原点对称，求点的坐标（用含的式子表示）； （3）当点运动到某一位置时，恰好使得，且点为线段的中点，此时对于该抛物线上任意一点，总有成立，求实数的最小值． 2．（开福区一模）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为D． （1）求点A、点B的坐标； （2）若△OAC∽△OCB，求m的值； （3）若△ABD为正三角形，对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+﹣4成立，求实数n的最小值． 3．（中雅）点为反比例函数（k为常数，且）的图象上一点，若点P的横、纵坐标满足关系：，则称点P所在的反比例函数（k为常数，且）为“Q函数”，点P为该“Q函数”图象上的“Q点”． （1）“Q函数”图象上的“Q点”坐标为__________； （2）反比例函数是否为“Q函数”？若是，请求出该函数图象上的“Q点”；若不是，请说明理由． （3）已知反比例函数（k为常数，且）为“Q函数”，令，若对于整数m，恒成立，求整数m的最小值． 4．（雅礼）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2），满足纵坐标相等，即y1＝y2，则称点A、B为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”． （1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y＝|x+1|图象上的一对“高水平点”，求p+q的值； （2）关于x的函数y＝kx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如果不是，请说明理由； （3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x0，y0）都在关于x的“高水平函数”y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平点”，且满足m＜n＜c，若存在常数w，使得式子：w+＞﹣x02﹣x0+2恒成立，求w的取值范围． 5．（青竹湖）若y是x的函数，h为常数（h > 0），若对于该函数图象上的任意两点、 ，当，（其中a、b为常数，a < b时，总有，就称此函数在时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高。 （1）函数：④，②，③在时为有界函数的是 ：（填序号） （2）若一次函数（），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为，请求出此一次函效解析式； （3）已知函数（），当时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实效a的取值范围. 6．（青竹湖）在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：y＝kx+b（k、b为常数且k≠0），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． （1）求直线l：y＝﹣x+4与双曲线y＝的切点坐标； （2）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）经过两点（﹣3，0）和（1，0），若直线l：y＝6x﹣7与抛物线相切，求a的值； （3）已知直线l：y1＝kx+m（k、m为常数）与抛物线y2＝x2+相切于点（1，），设二次函数M：y3＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0，c为整数），对一切实数x恒有y1≤y3≤y2，求二次函数M的解析式． 7.已知抛物线C：，直线l：． （1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点； （2）当，时，恒成立，求m的最小值； （3）当，时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围． 8.已知抛物线C：． 如图，抛物线与x轴相交于两点、． 求b的值； 当时，二次函数有最大值为3，求n的值． 已知直线l：，当时，恒成立，求b的取值范围． 9．（雨花区）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”． （1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”； （2）如图2，直线y＝﹣x