专题19 曲线与方程4种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题19 曲线与方程4种常见考法归类 1．曲线与方程的概念 一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式． 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： ①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； ②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线． 注：（1）如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆． （2）若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0． 2．两条曲线的交点坐标 曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为方程组的实数解． 3．解析几何研究的主要问题 (1)由曲线求它的方程． (2)利用方程研究曲线的性质． 4．求曲线的方程的步骤 5．利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法 (1)由已知曲线的方程讨论曲线的对称性 设曲线C的方程为：f(x，y)＝0，一般有如下规律： ①如果以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称； ②如果以－x代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称； ③如果同时以－x代替x，以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称． 另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设点P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，－y)必在曲线上；因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2(－x，y)必在曲线上．因为P(x，y)，P2(－x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称． (2)根据曲线的方程画曲线 ①对于这类问题，往往要把方程进行同解变形．注意方程的附加条件和x，y的取值范围，有时要把它看作y＝f(x)的函数关系，利用作函数图像的方法画出图形． ②对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符． ③注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量． 6.判断点与曲线的位置关系 （1）判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上． （2）已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题． 7.讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面： (1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围； (2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点； (3)研究曲线的对称性(关于x轴、y轴、原点)； (4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况； (5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线． 8.直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型． (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程． 提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性． 9.代入法求解曲线方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)； (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程； (4)化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 曲线与方程关系的应用 考点二 由方程研究曲线的性质 考点三 直接法求曲线方程 考点四 代入法求曲线方程 考点一 曲线与方程关系的应用 1．（2023·高二课时练习）若点在方程的曲线上，则 ． 2．（2023上·北京延庆·高二统考期末）方程表示的曲线经过的一点是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·高三课时练习）已知点，曲线的方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“