17.5 反证法同步练习 2023-2024学年冀教版数学八年级上册

17.5　反证法 知识点 反证法 1.用反证法证明命题“如图,如果AB∥CD,AB∥EF,那么CD∥EF”时,证明的第一个步骤是(　　) A.假设AB不平行于CD B.假设AB不平行于EF C.假设CD∥EF D.假设CD不平行于EF 2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时,假设正确的是 (　　) A.假设三个内角都不大于60° B.假设三个内角都大于60° C.假设三个内角中至多有一个大于60° D.假设三个内角中至多有两个大于60° 3.求证:两直线平行,内错角相等. 如图1,若AB∥CD,且AB,CD被EF所截,求证:∠AOF=∠EO'D. 理论依据1:内错角相等,两直线平行. 理论依据2:过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行. 以下是打乱的用反证法证明的过程: ①如图2,过点O作直线A'B',使∠A'OF=∠EO'D. ②依据理论依据1,可得A'B'∥CD. ③假设∠AOF≠∠EO'D. ④∴∠AOF=EO'D. ⑤与理论依据2矛盾,假设不成立. 证明步骤的正确顺序是 (　　 ) A.①②③④⑤ B.①③②⑤④ C.③①④②⑤ D.③①②⑤④ 4.已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°.若要用反证法证明这个结论,应首先假设　　　　. 5.已知直角三角形的三边长分别为6,8,x,则以x为边长的正方形的面积为　　　　. 6.已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为　　　　　. 7.已知a=,b=1,c=,则以a,b,c为边构成的三角形　　　　直角三角形(填“是”或“不是”). 8.如图,在△ABC中,∠B≠∠C. 求证:AB≠AC. 证明: 假设　　　　　　　　　　, 则　　　　　　　　(等边对等角). 这与　　　　　　　　　　　　　矛盾,假设不成立. 所以　　　　　　　　. 9.在△ABC中,∠B=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a=6,b=8. (1)求c的长; (2)求斜边上的高. 10.用反证法证明:等腰三角形的底角是锐角. 11.用反证法证明:若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,则a,b,c中至少有一个大于0. 12.如图,在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线,AM是BC边上的中线.求证:点M与点D不重合. 参考答案 1.D　【解析】　CD∥EF的否定是CD不平行于EF.故选D. 2.B　【解析】　“至少有一个不大于60°”的否定是“都大于60°”.故选B. 3.D 4.∠B≥90° 5.100或28　【解析】　当8是直角边长时,根据勾股定理,得x2=62+82=36+64=100,所以以x为边长的正方形的面积为100;当8是斜边长时,根据勾股定理,得x2=82-62=64-36=28,所以以x为边长的正方形的面积为28.综上,以x为边长的正方形的面积为100或28. 6.2或2　【解析】　分两种情况:①当CD在△ABC内部时,如图1,∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∵CD=,AD=1,∴AC==2,∵AB=2AC,∴AB=4,∴BD=4-1=3,∴BC==2;②当CD在△ABC外部时,如图2,同理,可得AC=2,AB=4,∴BD=4+1=5,∴BC==2.综上,BC的长为2或2. 7.是　【解析】　∵c2+b2=()2+12=6,a2=()2=6,∴c2+b2=a2,∴以a,b,c为边构成的三角形是直角三角形. 8.AB=AC　∠B=∠C　已知∠B≠∠C　AB≠AC 9.【解析】　(1)在△ABC中,∠B=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a=6,b=8, ∴c==2. (2)设斜边上的高为h,则 S△ABC=×8×h=×6×2, 解得h=. 10.【解析】　已知:在△ABC中,AB=AC.求证:∠B,∠C都是锐角. 证明:因为AB=AC,所以∠B,∠C是等腰三角形ABC的两个底角,所以∠B=∠C. 假设等腰三角形ABC的底角∠B,∠C不是锐角, 则∠B和∠C都大于或等于90°, 所以∠B+∠C≥180°,这与三角形的内角和为180°相矛盾, 故假设不成立. 所以等腰三角形的底角是锐角. 11.【解析】　假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0, ∴a+b+c≤0, 而a+b+c=(x2-2y+)+(y2-2z+)+(z2-2x+)=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3, ∴a+b+c>0, 这与a+b+c≤0矛盾, 故假设是错误的, 故a,b,c中至少有一个大于0. 12.【解析】　假设点M与点D重合. 如图,延长AM到N,使MN=AM,连接BN. 因为AM是