湖南省名校联合体2023-2024学年高二上学期期中数学试题

名校联考联合体2023年秋季高二年级第二次联考 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：____________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 等差数列中，，则的前2023项和为（ ） A. 1011 B. 2022 C. 4046 D. 8092 3. 设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 过，两点的直线方程为 B. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 C. 点关于直线的对称点为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 5. 溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算这种苏打水的值．（精确到 0.001）（参考数据：）（ ） A. 8.699 B. 8.301 C. 7.699 D. 6.602 6. 已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 25 7. 已知函数（），则（ ） A. 存在实数，使函数没有零点 B. 当时，对，都有成立 C. 当时，方程有4个不同的实数根 D. 当时，方程有2个不同的实数根 8. 已知双曲线（，）的上下焦点分别为，，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的值可能为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A. 该校高一学生总数为 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多80 D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线方程 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 已知，，为同一平面内单位向量，，，且与的夹角为锐角，则（ ） A. 与的夹角 B. C. D. 12. 如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 过、、三点的平面截正方体所得的截面图形为三角形或四边形 B. 当点到、、三点的距离相等时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 若点到直线距离与点到的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 D. 若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则__________. 14. 已知函数的定义域为，且函数为奇函数，若，则___________. 15. 已知动直线与圆相交于点、，点为直线上的动点，则的最小值为________. 16. 已知为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，点为点在直线上的射影，则点到直线的距离的最大值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 等差数列满足，，前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值. 18. 的内角，，的对边分别为，，，为中点，设. （1）求； （2）若的面积等于，求的周长的最小值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，， 点为棱上的点，且. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 20. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值； （2）估计这100名候选者面试成绩第65百分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率. 21. 函数和的图象关于原点对称，且. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若在上是增函数，求实数的取值范围. 22. 在平面直角坐标系中，已知