浙江省“衢温5+1”联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

2023学年第一学期衢温5+1联盟期中联考 高二年级数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间中有3条不同的直线，满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆，圆，若与有公共点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 6. 已知为锐角，，则（ ） A B. C. D. 7. 已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为定义在上的奇函数，当时，，且当时，．若函数在区间上恰有7个零点，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 衢州市某七天每天的最高气温分别是（单位），则（ ） A. 该组数据的平均数为36 B. 该组数据的极差为4 C. 该组数据的中位数为36 D. 该组数据的第80百分位数为36 10. 已知正数满足，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 关于直线对称 12. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图所示，若正四面体的棱长为1，则（ ） A. 存在正方体使得勒洛四面体能在该正方体中自由转动，并始终保持与正方体六个面都接触 B. 平面截勒洛四面体所得截面的周长为 C. 勒洛四面体外接球半径为 D. 勒洛四面体内切球半径为 非选择题部分 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 双曲线的渐近线方程是________. 14. 已知侧棱长为5，高为4的正四棱锥被平行于底面的平面所截，截去一个高为2的正四棱锥，所得的棱台的体积为______． 15. 已知是边长为3的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为______． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线经过点与轴相交于点，点为与的一个交点，且，则的离心率为______． 四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知直线l经过点，圆． （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若该直线l与圆C相交于两点，且面积为，求直线l的方程． 18. 如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，． （1）证明：平面； （2）若是棱的中点，求三棱锥的体积． 19. 已知内角的对边分别是，满足． （1）求； （2）若是的中点，且，求的面积． 20. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求和的值； （2）若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨，试估计的值； （3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过吨时，按3元吨计算，超出吨的部分，按5元吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？ 21. 如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面． （1）若的中点为，求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 22. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足．记的轨迹为． （1）求方程； （2）已知直线，若点关于直线的对称