浙江省杭州市北斗联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2023学年第一学期杭州北斗联盟期中联考 高二年级数学学科 试题 命题：淳安二中 北师大嘉兴附中 考生须知： 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. 2i B. C. 2 D. 3. “ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ） A. 25 B. 5 C. D. 5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 有一组样本甲的数据，一组样本乙的数据，其中为不完全相等的正数，则下列说法正确的是（ ） A. 样本甲的极差一定小于样本乙的极差 B. 样本甲的方差一定大于样本乙的方差 C. 若样本甲的中位数是，则样本乙的中位数是 D. 若样本甲的平均数是，则样本乙的平均数是 10. 已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若点O到直线AB的距离为，则 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最大值为4 11. 已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号相同”，事件B＝“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C＝“抽取的两个小球标号之和大于8”，则（ ）. A. 事件A与事件B是互斥事件 B. 事件A与事件B是对立事件 C. D. 12. 如图，在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面或内部一点，直线与底面所成的角分别记为，且，记动点P的轨迹与棱的交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 为中点 B. 线段长度的最小值为5 C. 存在一点，使得平面 D. 若在正四棱柱表面，则点的轨迹长度为 非选择题部分 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 过点且方向向量为的直线的方程为___________． 14. 已知，，且，则的最小值为______. 15. 某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为______． 16. 已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主