微练(五) 基本不等式-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(五)　基本不等式 基础过关 一、单项选择题 1.“a>b>0”是“ab<”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由a>b>0,可知ab<,充分性成立,由ab<,可知a≠b,a,b∈R,故必要性不成立。 2.若x<0,则x+的最大值为 (C) A.-8 B.-6 C.-4 D.-2 解析　因为x<0,则-x>0,则x+=-(-x)+≤-2=-4,当且仅当-x=-,即x=-2时取等号,此时取得最大值-4。 3.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= (D) A.6 B.8 C.16 D.36 解析　因为f(x)=4x+(x>0,a>0),故4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时取等号,故=3,a=36。故选D。 4.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器。已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 (C) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 解析　由题意知,体积V=4 m3,高h=1 m,所以底面积S=4 m2,设底面矩形的一条边长是x m,则另一条边长是 m,又设总造价是y元,则y=20×4+10×≥80+20=160,当且仅当2x=,即x=2时取得等号。 5.已知x>0,y>0,且x+2y=1,若不等式+≥m2+7m恒成立,则实数m的取值范围是 (A) A.{m|-8≤m≤1} B.{m|m≤-8,或m≥1} C.{m|-1≤m≤8} D.{m|m≤-1,或m≥8} 解析　因为x>0,y>0,x+2y=1,所以+=(x+2y)=++4≥4+2=8当且仅当=,即x=2y=时取等号,因为不等式+≥m2+7m恒成立,所以m2+7m≤8,解得-8≤m≤1。故选A。 6.(2023·武汉模拟)已知正实数x,y满足x++y+=5,则x+y的最小值与最大值的和为 (B) A.6 B.5 C.4 D.3 解析　因为正实数x,y满足x++y+=5,所以(x+y)=5(x+y),所以5(x+y)=(x+y)2+++2≥(x+y)2+4,当且仅当x=y时取等号,所以(x+y)2-5(x+y)+4≤0,解得1≤x+y≤4,所以x+y的最小值与最大值的和为5。故选B。 二、多项选择题 7.下列不等式一定成立的有 (CD) A.x+≥2 B.2x(1-x)≤ C.x2+≥2-1 D.+≥2 解析　对于A,当x<0时,x+<0,故A错误;对于B,2x(1-x)=-2x2+2x=-2+≤,故B错误;对于C,x2+=x2+1+-1≥2-1=2-1,当且仅当x2=-1时取等号,故C正确;对于D,+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,故D正确。故选CD。 8.已知x>0,y>0,且2x+y=2,则下列说法中正确的是 (ACD) A.xy的最大值为 B.4x2+y2的最大值为2 C.4x+2y的最小值为4 D.+的最小值为4 解析　由2=2x+y≥2⇒xy≤,当2x=y时,等号成立,所以A正确;4x2+y2=(2x+y)2-4xy=4-4xy≥2,所以4x2+y2的最小值为2,故B不正确;由2=2x+y,得4x+2y=4x+22-2x=4x+≥4,当且仅当x=时,等号成立,故C正确;由2=2x+y,得+=+=2++≥4,当且仅当x=y时,等号成立,故D正确。故选ACD。 三、填空题 9.若x>1,则x+的最小值为 5 。  解析　x+=x-1++1≥4+1=5(当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立)。 10.当3<x<12时,函数y=的最大值为 3 。  解析　y===-x++15≤-2+15=3(当且仅当x=,即x=6时取等号),所以ymax=3。 11.(2023·南京模拟)实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则ab的最小值为 8 。  解析　由题意,知a>0,b>0。因为lg a+lg b=lg(ab),所以lg(ab)=lg(a+2b),所以ab=a+2b,等号两边同时除以ab可得,+=1,所以ab=a+2b=(a+2b)+=++4≥2+4=8,当且仅当=且+=1,即b=2,a=4时,等号成立,故ab的最小值为8。 四、解答题 12.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求: (1)xy的最小值; (2)x+y的最小值。 解　(1)由2x+8y-xy=0,得+=1。又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当=,即x=16且y=4时,等号成立。所以xy的最小值为64。 (2)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则x+y=+(x+y)=10++≥10+2=18。当且仅当=,即x=12且y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为18