微练(十一) 指数与指数函数-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(十一)　指数与指数函数 基础过关 一、单项选择题 1.化简4÷的结果为 (C) A.- B.- C.- D.-6ab 解析　原式=4÷··=-6ab-1=-。故选C。 2.下列函数中值域为正实数集的是 (B) A.y=-5x B.y= C.y= D.y=3|x| 解析　A项中y<0,C项中y≥0,D项中y≥1,只有B项正确。故选B。 3.(2023·成都诊断)不论a为何值,函数y=(a-1)2x-恒过定点,则这个定点的坐标为 (C) A. B. C. D. 解析　将y=(a-1)2x-变为2x-a-(2x+y)=0,依题意,对a∈R,a-(2x+y)=0恒成立,则2x-=0且2x+y=0,所以x=-1且y=-,即恒过定点。 4.已知f(x)=1+2x-|1-2x|,则f(x)的值域是 (B) A.(-∞,2] B.(0,2] C.(0,3] D.[1,2] 解析　①当x≤0时,0<2x≤1,所以f(x)=1+2x-1+2x=2·2x,因为0<2x≤1,所以0<2·2x≤2,所以0<f(x)≤2;②当x>0时,2x>1,所以f(x)=1+2x+1-2x=2。综上,f(x)的值域为(0,2]。故选B。 5.(2023·重庆模拟)国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2022年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到真正的智慧场馆、绿色场馆。并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统。已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N=N0e-kt(N0为最初污染物数量)。如果前4小时消除了20%的污染物,那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为 (C) A.3.6小时 B.3.8小时 C.4小时 D.4.2小时 解析　由题意可得N0e-4k=N0,可得e-4k=,设N0e-kt=0.64N0=N0,可得e-kt=(e-4k)2=e-8k,解得t=8。因此,污染物消除至最初的64%还需要4小时。故选C。 6.(2023·本溪模拟)已知x∈(1,2),a=,b=(2x)2,c=,则a,b,c的大小关系为 (B) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b 解析　因为a=,b=(2x)2=22x,c=,所以只需比较x2,2x,2x在x∈(1,2)时的大小即可。令y1=x2,y2=2x,y3=2x,在同一平面直角坐标系中作出这三个函数在(1,2)上的图象,如图所示,由图可知,当x∈(1,2)时,2x>2x>x2。又函数f(t)=2t在R上是增函数,所以22x>>,即b>c>a。故选B。 二、多项选择题 7.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是 (ACD) A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2) B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) C.>0 D.f< 解析　·=,所以A成立;+≠,所以B不成立;函数f(x)=2x在R上是增函数,若x1>x2,则f(x1)>f(x2),则>0,若x1<x2,则f(x1)<f(x2),则>0,故C正确;f<说明函数是凹函数,可知f(x)=2x的图象满足条件,故D正确。 8.已知f(x)=,则 (AD) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x)在R上单调递减 解析　f(x)的定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)===-=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除B;因为f(x)==-1,且y=2x在R上单调递增,所以y=1+2x在R上单调递增,且1+2x>1,所以y=-1在R上单调递减,即f(x)在R上单调递减,排除C。故选AD。 三、填空题 9.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为 27 。  解析　因为2x=8y+1=23(y+1),所以x=3y+3　①。因为9y=3x-9=32y,所以x-9=2y　②。由①②解得x=21,y=6,所以x+y=27。 10.当x∈(-∞,-1]时,不等式1+2x+4xa≥0恒成立,则a的取值范围是 {a|a≥-6} 。  解析　当x∈(-∞,-1]时,不等式1+2x+4xa≥0恒成立可转化为-a≤=+恒成立。易知函数y=+是R上的减函数,因此当x∈(-∞,-1]时,ymin=+=6,所以-a≤6,即a≥-6。 11.直线y=3a与函数y=|ax+1-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是  。  解析　当a>1时,作出函数y=|ax+1-1|的大致图象如图①,此时当x≤-1时,0≤y<1,而3a>3>1,所以直线y=3a与函数y=|ax+1-1|的图象只有一个公共点,不符合题意;当0<a<1时,作出函数y=|ax+1-1|的大致图象如图②,