微练(十四) 函数的零点与方程的解-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(十四)　函数的零点与方程的解 基础过关 一、单项选择题 1.下列函数中,没有零点的是 (C) A.f(x)=log2x-7 B.f(x)=-1 C.f(x)= D.f(x)=x2+x 解析　A选项,由f(x)=log2x-7=0得x=27,即函数f(x)=log2x-7有零点;B选项,由f(x)=-1=0得x=1,即函数f(x)=-1有零点;C选项,由f(x)=≠0,知函数f(x)=没有零点;D选项,由f(x)=x2+x=0得x=-1或x=0,即函数f(x)=x2+x有零点。故选C。 2.关于函数f(x)=(ln x)2-2ln x,下列说法正确的是 (A) A.函数f(x)有2个零点 B.函数f(x)有4个零点 C.e是函数f(x)的一个零点 D.2e是函数f(x)的一个零点 解析　令f(x)=(ln x)2-2ln x=(ln x-2)ln x=0,得ln x=0或ln x=2,即x=1或x=e2,所以函数f(x)有2个零点,分别为1,e2。故选A。 3.函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为 (C) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 解析　因为f(-1)=-1-1-4=-6<0,f(0)=0+0-4=-4<0,f(1)=1+1-4=-2<0,f(2)=8+2-4=6>0,所以f(1)f(2)<0,又f(x)在R上单调递增,所以函数f(x)的零点所在的区间为(1,2)。故选C。 4.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 (B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　因为a>0,所以a2+1>1。作出y=|x2-2x|的图象如图,由图知y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点,即方程有2个解。 5.已知函数f(x)=log2x+3x+b的零点在区间(0,1]上,则b的取值范围为 (D) A.[-3,0] B.(-∞,3] C.[0,3] D.[-3,+∞) 解析　函数f(x)=log2x+3x+b在区间(0,+∞)上单调递增,当x→0时,f(x)→-∞,因为函数f(x)=log2x+3x+b的零点在区间(0,1]上,所以f(1)=log21+3×1+b≥0,解得b≥-3。故选D。 6.关于x的方程ax-x-a=0(a>0,且a≠1)有两个实根,则a的取值范围是 (A) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,1)∪(1,+∞) D.⌀ 解析　由ax-x-a=0,得ax=x+a,当0<a<1时,分别作出函数y=ax及y=x+a的图象,如图①所示,显然,两个函数的图象只有一个交点,故方程ax-x-a=0只有一个实根,不符合题意;当a>1时,分别作出函数y=ax及y=x+a的图象,如图②所示,显然,两个函数的图象有两个交点,故ax-x-a=0有两个实根,符合题意,所以实数a的取值范围是(1,+∞)。故选A。 　 ① ② 二、多项选择题 7.在数学中,布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间,并构成一般不动点定理的基石,它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔,简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在一个点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列为“不动点”函数的是 (BCD) A.f(x)=2x+x B.g(x)=x2-x-3 C.f(x)=+1 D.f(x)=|log2x|-1 解析　对于A,+x0=x0无解,所以A不满足;对于B,-x0-3=x0,解得x0=3或x0=-1,所以B满足题意;对于C,+1=x0,解得=,x0=>0,所以C满足题意;对于D,|log2x0|-1=x0,在同一直角坐标系下画出函数f(x)以及y=x的图象,可确定两个函数的图象有交点,即方程有解,所以D满足题意。故选BCD。 8.(2023·百师联盟联考)设函数f(x)=则以下结论正确的为 (BC) A.f(x)为R上的增函数 B.f(x)有唯一零点x0,且1<x0<2 C.若f(m)=5,则m=33 D.f(x)的值域为R 解析　作出f(x)的图象如图所示。由图可知A错误;对于B,由图象可知,f(x)有唯一零点x0,f(x)在(-∞,2]上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,B正确;对于C,当x≤2时,2x-3≤1,故log2(m-1)=5,解得m=33,C正确;对于D,f(x)的值域为(0,+∞)∪(-3,1],即(-3,+∞),D错误。故选BC。 三、填空题 9.已知函数f(x)=则f(x)的零点为 1,-1 。  解析　当x>0时,由f(x)=0,即xln x=0得ln x=0,解得x=1;当x≤0时,由f(x)=0,即x2-x-2=0,解得x=-1或x=2,因为x≤0,所以x=-1。综上,函数f(x)