微练(十七) 导数与函数的单调性-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(十七)　导数与函数的单调性 基础过关 一、单项选择题 1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列判断正确的是 (C) A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增 B.在区间(1,3)上f(x)单调递减 C.在区间(4,5)上f(x)单调递增 D.在区间(3,5)上f(x)单调递增 解析　在区间(4,5)上f'(x)>0恒成立,所以f(x)在区间(4,5)上单调递增。 2.函数f(x)=xln x+1的单调递减区间是 (C) A. B. C. D.(e,+∞) 解析　f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ln x,令f'(x)<0,得0<x<,所以f(x)的单调递减区间为。 3.函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为 (A) A. B. C. D.(-∞,a) 解析　函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a,令f'(x)=-a>0,得0<x<,所以f(x)的单调递增区间为。 4.(2023·德阳诊断)若函数f(x)=ex(sin x+a)在R上单调递增,则实数a的取值范围为 (A) A.[,+∞) B.(1,+∞) C.[-1,+∞) D.(,+∞) 解析　因为f(x)=ex(sin x+a),所以f'(x)=ex(sin x+a+cos x)。要使函数f(x)在R上单调递增,需使f'(x)≥0恒成立,即sin x+a+cos x≥0恒成立,所以a≥-sin x-cos x。因为-sin x-cos x=-sinx+,所以-≤-sin x-cos x≤,所以a≥。 5.(2023·汕头一模)已知a=,b=,c=,则以下不等式正确的是 (C) A.c>b>a B.a>b>c C.b>a>c D.b>c>a 解析　令f(x)=(x>0),则a=f(2),b=f(e),c=f(5),f'(x)=,当0<x<e时,f'(x)>0,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,因为2<e<5,所以f(2)<f(e),f(e)>f(5),因为f(2)-f(5)=-==>0,所以f(2)>f(5),所以b>a>c。故选C。 6.已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,都有>2,f(1)=2 020,则满足不等式f(x-2 021)>2(x-1 012)的x的取值范围是 (C) A.(2 021,+∞) B.(2 020,+∞) C.(2 022,+∞) D.(1 010,+∞) 解析　不妨设x2>x1,由>2得>0,所以[f(x2)-2x2]-[f(x1)-2x1]>0,即f(x2)-2x2>f(x1)-2x1。设g(x)=f(x)-2x(x≥0),由单调性的定义知函数g(x)在[0,+∞)上单调递增。因为f(x-2 021)>2(x-1 012),所以f(x-2 021)-2(x-2 021)>2 018,又f(1)=2 020,所以g(1)=f(1)-2=2 018,所以g(x-2 021)>g(1),所以解得x>2 022,即满足不等式f(x-2 021)>2(x-1 012)的x的取值范围是(2 022,+∞)。故选C。 二、多项选择题 7.如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1,x2(x1≠x2)都有>0,则称函数y=f(x)为“F函数”。下列函数不是“F函数”的是 (ACD) A.f(x)=ex B.f(x)=x2 C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x 解析　依题意,函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数。对于A,g(x)=xex,g'(x)=(x+1)ex,当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,故A中函数不是“F函数”;对于B,g(x)=x3在R上单调递增,故B中函数为“F函数”;对于C,g(x)=xln x,g'(x)=1+ln x,当x∈0,时,g'(x)<0,故C中函数不是“F函数”;对于D,g(x)=xsin x,g'(x)=sin x+xcos x,当x∈时,g'(x)<0,故D中函数不是“F函数”。 8.已知a>b>1,e为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是 (ACD) A.aea>beb B.aln b>bln a C.aln a>bln b D.bea>aeb 解析　设f(x)=xex,x>1,则f'(x)=(x+1)ex>0在(1,+∞)上恒成立,故函数f(x)单调递增,故f(a)>f(b),即aea>beb,故A正确。设g(x)=,x>1,则g'(x)=,易知函数g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,故当1<b<a<e时,g(a)>g(b),即>,故aln b<