微练(十九) 导数与不等式证明-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(十九)　导数与不等式证明 1.已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数,a为常数)的图象在(0,1)处的切线斜率为-1。 (1)求a的值及函数f(x)的极值; (2)证明:当x>0时,x2<ex。 解　(1)由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a。因为f'(0)=1-a=-1,所以a=2,所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2。令f'(x)=0,得x=ln 2,当x<ln 2时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,ln 2)上单调递减;当x>ln 2时,f'(x)>0,f(x)在(ln 2,+∞)上单调递增。所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-2ln 2,f(x)无极大值。 (2)证明:令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x。由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln 2)>0,故g(x)在(-∞,+∞)上单调递增。所以当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x2<ex。 2.已知函数f(x)=ax-ln x-1。 (1)若f(x)≥0恒成立,求a的最小值; (2)求证:+x+ln x-1≥0。 解　(1)f(x)≥0等价于a≥(x>0)。令g(x)=(x>0),则g'(x)=-,所以当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,则g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(1)=1,则a≥1,所以a的最小值为1。 (2)证明:当a=1时,由(1)得x≥ln x+1,即t≥ln t+1(t>0)。令=t,则-x-ln x=ln t,≥-x-ln x+1,即+x+ln x-1≥0。 3.(2023·银川模拟)已知函数f(x)=x-ln x,g(x)=aex。 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求证:当a≥时,xf(x)≤g(x)。 解　(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-=。当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0。所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞)。 (2)证明:要证xf(x)≤g(x),即证x(x-ln x)≤aex,即证a≥。设h(x)=,则h'(x)==,由(1)可知f(x)≥f(1)=1,即ln x-(x-1)≤0,于是,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减。所以当x=1时,h(x)取得最大值,h(x)max=h(1)==,所以当a≥时,a≥h(x)恒成立,即xf(x)≤g(x)得证。 4.(2023·武汉模拟)已知函数f(x)=aln x+x。 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a=1时,证明:xf(x)<ex。 解　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+=。当a≥0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增。当a<0时,若x∈(-a,+∞),则f'(x)>0;若x∈(0,-a),则f'(x)<0。所以f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减。 (2)证明:当a=1时,要证xf(x)<ex,即证x2+xln x<ex,即证1+<。令函数g(x)=1+,则g'(x)=。令g'(x)>0,得x∈(0,e);令g'(x)<0,得x∈(e,+∞)。所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(e)=1+。令函数h(x)=,则h'(x)=。当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0。所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(2)=。因为->0,所以h(x)min>g(x)max,即1+<,从而xf(x)<ex得证。 5.(2022·北京卷)已知函数f(x)=exln(1+x)。 (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性; (3)证明:对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t)。 解　(1)由题意,得f'(x)=exln(1+x)+,则f'(0)=e0ln(1+0)+=1。又f(0)=e0ln(1+0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x。 (2)由(1)知,f'(x)=exln(1+x)+,则g(x)=exln(1+x)+,所以g'(x)=exln(1+x)++=。因为对任意x≥0,g'(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增。 (3)证明:要证对任意的s,t∈(0,+∞),