微练(十) 幂函数与二次函数-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(十)　幂函数与二次函数 基础过关 一、单项选择题 1.若f(x)是幂函数,且满足=3,则f= (C) A.3 B.-3 C. D.- 解析　设f(x)=xα,则=2α=3,所以f==。 2.已知函数f(x)=(m-1)x2-2mx+3是偶函数,则在(-∞,0)上此函数 (A) A.是增函数 B.不是单调函数 C.是减函数 D.不能确定 解析　因为函数f(x)=(m-1)x2-2mx+3是偶函数,所以函数图象关于y轴对称,即=0,解得m=0。所以f(x)=-x2+3为开口向下的抛物线,所以在(-∞,0)上此函数单调递增。故选A。 3.若函数f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值为1,则实数m的值为 (C) A.-3 B.2 C.-2 D.1 解析　函数f(x)=x2-2x+m图象的对称轴为x=1<3,二次函数图象的开口向上,所以f(x)在[3,+∞)上是增函数,因为函数f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值为1,所以f(3)=1,即9-6+m=1,解得m=-2。故选C。 4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c。若f(0)=f(4)>f(1),则 (A) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 解析　由f(0)=f(4),得f(x)图象的对称轴为直线x=-=2,所以4a+b=0,又f(0)=f(4)>f(1),所以f(x)的图象开口向上,a>0。故选A。 5.(2023·西安检测)已知函数f(x)=x-3,若a=f(0.60.6),b=f(0.60.4),c=f(0.40.6),则a,b,c的大小关系是 (B) A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　因为0.40.6<0.60.6<0.60.4,又y=f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,所以b<a<c。 6.已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是 (B) A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.(2,3) 解析　易知函数y=x2-4x+1的图象是一条开口向上、对称轴为直线x=2的抛物线,当x=1时,y=-2;当x=2时,y=-3。由y=-2,得x=1或x=3,因为函数在定义域内的最大值与最小值之和为-5,所以2≤t≤3。故选B。 二、多项选择题 7.(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是 (AD) A.f(x)的最大值为 B.f(x)在(-1,0)上是增函数 C.f(x)>0的解集为(-1,1) D.f(x)+2x≥0的解集为[0,3] 解析　由题意,当x≥0时,f(x)=x-x2=-x-2+;当x<0时,f(x)=-x2-x=-+,f(x)的最大值为,A正确;f(x)在上是减函数,B错误;f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1),C错误;当x≥0时,f(x)+2x=3x-x2≥0的解集为[0,3],当x<0时,f(x)+2x=x-x2≥0无解,故D正确。 8.(2023·宜昌质检)已知函数f(x)=x2-2x+a有两个零点x1,x2,以下结论正确的是 (ABC) A.a<1 B.若x1x2≠0,则+= C.f(-1)=f(3) D.函数y=f(|x|)有四个零点 解析　二次函数对应二次方程根的判别式Δ=(-2)2-4a=4-4a>0,a<1,故A正确;由根与系数的关系得,x1+x2=2,x1x2=a,+==,故B正确;因为f(x)的对称轴为x=1,点(-1,f(-1)),(3,f(3))关于对称轴对称,故C正确;当a<0时,y=f(|x|)只有两个零点,故D不正确。 三、填空题 9.已知f(x)=为奇函数,则g(x)=x2+ax+b的单调递增区间为  。  解析　易知函数f(x)的定义域为(-1,1)。因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,所以a-1=0,即a=1。所以g(x)=x2+x+b,该二次函数图象的开口向上,对称轴为直线x=-,所以g(x)的单调递增区间是。 10.已知函数f(x)=x2-2ax+b(a>1)的定义域和值域都为[1,a],则b= 5 。  解析　f(x)=x2-2ax+b的图象关于x=a对称,所以f(x)在[1,a]上为减函数,又f(x)的值域为[1,a],所以消去b,得a2-3a+2=0,解得a=2(a=1舍去),从而得b=3a-1=5。 11.设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x的值都有f(x)>0,则实数a的取值范围为  。  解析　由题意得a>-对1<x<4恒成立,又-=-2-2+,<<1,所以-max=,所以