第五章 平面向量及其应用、复数-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微讲教师用书word（新教材新高考)

第五章 面向量及其应用、复数 第一节　平面向量的概念及运算 【课程标准】　1.了解向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义;2.理解向量的几何表示和基本要素;3.掌握平面向量加、减运算及运算规则,并理解其几何意义;4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个平面向量共线的含义;5.了解向量线性运算的性质及其几何意义;6.掌握平面向量数量积的运算及其应用,会判断两个平面向量的垂直关系。 主干知识整合 回扣知识·基础落实 【基础梳理】 　　1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量。其中,向量的大小称为向量的长度(或模)。 (2)零向量:长度为0;方向是任意的。 (3)单位向量❶:长度等于1个单位长度;方向是确定的。 (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量。平行向量又叫共线向量。规定:0与任意向量平行。 (5)相等向量:长度相等;方向相同。 (6)相反向量:长度相等;方向相反。 [微点清]　❶单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同;与向量a平行的单位向量有两个,即向量和-。 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法❷ 求两个向量和的运算 向量加法的三角形法则 向量加法的平行四边形法则 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|=|λ||a|; 当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb [微点清]　 ❷向量加法的多边形法则:多个向量相加,利用向量加法的三角形法则,应首尾顺次连接,a+b+c表示从起点指向终点的向量,只关注起点、终点。 3.共线向量定理❸ 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa。 [微点清]　❸=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1。反之也成立。 4.平面向量的数量积 (1)平面向量的数量积 定义:已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ。  规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0。 (2)投影向量 设a,b是两个非零向量,=a,=b,我们考虑如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量。 数量积的几何意义:a·b=(|a|cos<a,b>)·|b|,故两个非零向量a,b的数量积等于a在b上的投影向量的数量与b的模的乘积。 (3)向量数量积的运算律 ①a·b=b·a。 ②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)。 ③(a+b)·c=a·c+b·c。 (4)平面向量数量积的模、夹角、垂直问题 结论 符号表示 模 |a|= 夹角 cos θ= a⊥b的充要条件 a·b=0(a,b≠0) 【小题演练】 基础题 1.在平行四边形ABCD中,点M为BC的中点,设=a,=b,则= a-b (用a,b表示)。  解析　 如图,因为==a-b,=b+a,所以==b+a,所以=+=a-b+b+a=a-b。 2.化简:+--= 0 。  解析　+--=-(+)=-=0。 3.已知向量e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ= - 。  解析　因为a与b共线,所以a=xb(x∈R),可得故λ=-。 易错题 4.(最值的条件不清致误)已知|a|=3,|b|=4,则|3a+2b|的最大值和最小值分别为 17和1 。  解析　由|3a+2b|≤|3a|+|2b|=9+8=17可知,|3a+2b|的最大值为|3a|+|2b|=17,当且仅当a与b方向相同时取得最大值。由|3a+2b|≥||3a|-|2b||=|9-8|=1可知,|3a+2b|的最小值为||3a|-|2b||=1,当且仅当a与b方向相反时取得最小值。 5.(三点共线的充要条件不清致误)设A,B,C在一条直线上,O在该直线外,已知=3x+(2-5x),则x等于 0.5 。  解析　因为A,B,C三点共线,所以3x+(2-5x)=1,解得x=0.5。 6.(投影向量概念不清致误)在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,则向量在向量上的投影向量为 (A) A. B. C.- D.- 解析　 取点O为BC的中点,根据题意作图,因为∠BAC=90°,∠ABC=60°,所以在上的投影向量