第四章 三角函数-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微讲教师用书word（新教材新高考)

第四章 三角函数 第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念 【课程标准】　1.了解任意角的概念;2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 主干知识整合 回扣知识·基础落实 【基础梳理】 　　1.角的概念 (1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。 (2)分类 (3)相反角:如图,我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。角α的相反角记为-α。 　 ① ② (4)终边相同的角:所有与角a终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}。 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度。 (2)公式 角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°= rad,1 rad=° 弧长公式 弧长l=|α|r 扇形面积公式 S=lr=|α|r2 　　3.任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0)。 (2)任意角的三角函数的定义(推广): 设P(x,y)是一个任意角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r=>0,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0)。 (3)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦,如图。 【小题演练】 基础题 1.-870°角的终边所在的象限是 (C) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　因为-870°=-1 080°+210°,所以-870°角的终边在第三象限。故选C。 2.已知角α的终边过点P(-1,2),则sin α= (B) A. B. C.- D.- 解析　因为|OP|==(O为坐标原点),所以sin α==。故选B。 3.若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定位于 (D) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合。由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限。故选D。 易错题 4.(角度制与弧度制混用致误)(多选)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 (CD) A.2kπ-45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z) C.2kπ+(k∈Z) D.k·360°+45°(k∈Z) 解析　因为的终边与的终边相同,所以与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z)或k·360°+45°(k∈Z)。故选CD。 5.(忽视公式中角的单位致误)单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为  ,由该弧及半径围成的扇形的面积为  。  解析　单位圆的半径r=1,200°的弧度数是200×=,由弧度数的定义得=,所以l=,S扇形=lr=××1=。 6.(忽视角终边所在象限致误)已知角α的终边与单位圆相交于点M,则cos α=  ,sin α= ± 。  解析　由题意知+y2=1,所以y=±。由三角函数的定义知cos α=x=,sin α=y=±。 关键能力突破 考向探究·题型剖析 类型一 角的概念与表示 自练自悟 1.(多选)下列四个命题中正确的是 (BCD) A.-是第二象限角 B.是第三象限角 C.-400°是第四象限角 D.-315°是第一象限角 解析　-是第三象限角,故A错误;=π+,所以是第三象限角,故B正确;-400°=-360°-40°,所以-400°是第四象限角,故C正确;-315°=-360°+45°,所以-315°是第一象限角,故D正确,故选BCD。 2.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是 (C) 　　　 A B 　　　 C D 解析　当k=2n时,2nπ+≤α≤2nπ+(n∈Z),此时α的终边和≤α≤的终边一样。当k=2n+1时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+(n∈Z),此时α的终边和π+≤α≤π+的终边一样。故选C。 3.(多选)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是 (AC) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析　因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,则有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z。故当k=2n,n∈Z时,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α为第一象限角;当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈