第六章 数列-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微讲教师用书word（新教材新高考)

第六章 数列 第一节　数列的概念 【课程标准】　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。 【基础梳理】 　　1.数列的有关概念 (1)数列的定义❶ 按照确定的顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。 (2)数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M,使|an|≤M 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项 周期数列 对n∈N*,存在正整数常数k,使an+k=an (3)数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析式法。 [微点清]　❶数列是一种特殊的函数,在研究数列问题时,既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性。 2.数列的通项公式 (1)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式❷。 (2)已知数列{an}的前n项和Sn,则an= [微点清]　❷①并不是所有的数列都有通项公式;②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一。 3.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式。 【小题演练】 基础题 1.若数列的前4项分别是,-,,-,则此数列的一个通项公式为 (A) A. B. C. D. 解析　由题意得奇数项为正数,偶数项为负数,第n项的绝对值等于,故此数列的一个通项公式为。 2.已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=n,则a20= 9 。  解析　因为an+an+1=n,所以a1+a2=1,a2+a3=2,…,a19+a20=19。因为a1=1,所以可得a1=1,a3=2,a5=3,a7=4,…,和a2=0,a4=1,a6=2,a8=3,…,奇数项、偶数项分别构成等差数列,且偶数项a2k=k-1(k∈N*),所以a20=10-1=9。 3.已知数列{an}满足a1=2,an+1=,其前n项和为Sn,则a2 023= 2 ,S2 023= 1 013 。  解析　因为a1=2,an+1==1-,所以a2=1-=,a3=1-2=-1,a4=1+1=2,…,所以数列{an}是周期数列且周期为3,所以a2 023=a674×3+1=a1=2,S2 023=674(a1+a2+a3)+a1=674×+2=1 013。 易错题 4.(忽视n=1的特殊情况致误)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=  。  解析　当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,a1=2不满足上式。故an= 5.(忽视项数为整数的情况致误)数列{an}中,an=-n2+11n(n∈N*),则此数列最大项的值是 30 。  解析　an=-n2+11n=-n-2+,因为n∈N*,所以当n=5或n=6时,an取得最大值30。 6.(忽视数列的单调性致误)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则数列{an}的最大项是第 6 项。  解析　an==1+。当n≥6时,an>0,随着n的增大,an的值越来越小;当n≤5时,an<0,随着n的增大,an的值越来越小。所以数列{an}的最大项是第6项。 类型一 归纳法求数列的通项公式 自练自悟 1.数列-1,3,-6,10,…的一个通项公式是 (C) A.an=(-1)nn2-(n-1) B.an=(-1)n+1(n2-1) C.an=(-1)n D.an=(-1)n-1 解析　观察可得,该数列第n项的正负由(-1)n确定,且|an|=,所以该数列的一个通项公式是an=(-1)n。故选C。 2.(多选)数列1,2,1,2,…的通项公式可能为 (ACD) A.an= B.an= C.an= D.an= 解析　对于A,当n为奇数时,an==1,当n为偶数时,an==2,故A正确;对于B,当n为奇数时,an==2,当n为偶数时,an==1,故B不正确;对于C,当n为奇数时,an==1,当n为偶数时,an==2,故C正确;对于D,当n为奇数时,an==1,当n为偶数时,an==2,故D正确。故选ACD。 3.已知数列{an}的前5项为,,,,,则{an}的一个通项公式为an=  。  解析　因为2,6,12,20,30分别可分解为1×2,2×3,3×4,4×5,5×6,所以