微练(九) 函数的奇偶性与周期性-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(九)　函数的奇偶性与周期性 基础过关 一、单项选择题 1.下列函数是奇函数的是 (D) A.y=cos x B.y=x2 C.y=ln |x| D.y=ex-e-x 解析　对于A,y=cos x是余弦函数,是偶函数,不符合题意;对于B,y=x2是二次函数,是偶函数,不符合题意;对于C,y=ln|x|的定义域为{x|x≠0},且ln|-x|=ln|x|,该函数是偶函数,不符合题意;对于D,y=ex-e-x的定义域为R,且e-x-ex=-(ex-e-x),该函数是奇函数,符合题意。故选D。 2.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(x-1),则f(2)= (A) A.-6 B.6 C.-2 D.2 解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-[-2×(-2-1)]=-6。故选A。 3.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)= (D) A.ex-e-x B.(ex+e-x) C.(e-x-ex) D.(ex-e-x) 解析　因为f(x)+g(x)=ex,所以f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e-x,所以g(x)=(ex-e-x)。故选D。 4.若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则 (C) A.y=f(x+1)是偶函数 B.y=f(x-1)是偶函数 C.y=f(x+1)是奇函数 D.y=f(x-1)是奇函数 解析　因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称,即y=f(x+1)是奇函数。故选C。 5.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),则下列函数必为奇函数的是 (B) A.y=-|f(x)| B.y=xf(x2) C.y=-f(-x) D.y=f(x)+f(-x) 解析　对于A,设m(x)=-|f(x)|,则m(-x)=-|f(-x)|,m(-x)=-m(x)不一定成立,故m(x)不一定是奇函数。对于B,设g(x)=xf(x2),则g(-x)=-xf(x2)=-g(x),故g(x)一定是奇函数。对于C,设h(x)=-f(-x),则h(-x)=-f(x),h(-x)=-h(x)不一定成立,故h(x)不一定是奇函数。对于D,设v(x)=f(x)+f(-x),则v(-x)=f(-x)+f(x)=v(x),故v(x)一定是偶函数。故选B。 6.(2022·八省八校联考)黎曼函数是一个特殊的函数,由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出,在高等数学中有着广泛的应用。黎曼函数定义在[0,1]上,其解析式为R(x)= 若函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且对任意x都有f(2+x)+f(x)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),则f(-ln 2)-f= (D) A. B. C.- D.- 解析　由f(x+2)+f(x)=0,得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4。因为f(-ln 2)=f(ln 2),ln 2∈(0,1),为无理数,所以f(-ln 2)=f(ln 2)=R(ln 2)=0,又f=f=R=,所以f(-ln 2)-f=-。故选D。 二、多项选择题 7.若定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上单调递减,且函数y=f(x+4)为偶函数,则 (BCD) A.f(2)>f(3) B.f(2)=f(6) C.f(3)=f(5) D.f(3)>f(6) 解析　因为y=f(x+4)为偶函数,所以f(-x+4)=f(x+4),所以y=f(x)的图象关于直线x=4对称,所以f(2)=f(6),f(3)=f(5)。又y=f(x)在(4,+∞)上单调递减,所以f(5)>f(6),所以f(3)>f(6)。 8.(2023·湖北模拟)已知f(x)为R上的偶函数,且f(x+2)是奇函数,则 (AD) A.f(x)的图象关于点(2,0)对称 B.f(x)的图象关于直线x=2对称 C.f(x)的周期为4 D.f(x)的周期为8 解析　因为f(x)为偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,f(-x)=f(x),又因为f(x+2)是奇函数,所以f(-x+2)=-f(x+2),所以f(x-2)+f(x+2)=0,所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,f(x)为周期函数且周期为8。 三、填空题 9.已知f(x)=ax2+bx+1是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则a+b=  。  解析　因为f(x)=ax2+bx+1是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则有(a-1)+2a=3a-1=0,则a=,同时f(-x)=f(x),即ax2+bx+1=a(-x)2+b(-x)+1